Задачи по геометрической оптике повышенной сложности

Физика на 100 Оптика Гойхман ГС

Задача 1. (ДВИ МГУ 2013) В круглое отверстие в непрозрачной ширме вставлена тонкая рассеивающая линза, радиус которой совпадает с радиусом отверстия R=1 см. Если перед линзой на её главной оптической оси поместить точечный источник света, то на экране, находящемся по другую стороны от линзы на расстоянии b=20 см, появится светлое пятно радиуса r₁=4 см. Если же, не трогая экран и источник, убрать линзу, то радиус пятна станет равным r₂=2 см. Определите оптическую силу D линзы.

Решение. Сделаем два рисунка: без линзы и с линзой.

a

S

Без линзы

S`

S

f

С линзой

Для рисунка без линзы, исходя из условия и подобия треугольников, определим расстояние от источника света до отверстия в ширме.

Откуда и .

Для рисунка с линзой, исходя из подобия треугольников, имеем

Откуда и . С другой стороны по формуле линзы . Предполагаемую отрицательность оптической силы D получим в ответе. Учитывая предыдущие формулы, получим

Ответ: -10 дптр

Задача 2 (Олимпиада «Физтех-2015). Оптическая система состоит из тонкой рассеивающей линзы с фокусным расстоянием F=-40 см и небольшого плоского зеркала (см. рис.). Плоскость зеркала составляет угол 45° с главной оптической осью линзы. Расстояние между линзой и зеркалом 20 см. Шарик S находится на расстоянии d=120 см от линзы, колеблется вблизи оптической оси, двигаясь перпендикулярно ей и имея максимальную скорость v=12 см/с. Наблюдатель А, находясь на расстоянии 40 см от зеркала, следит за изображением шарика, глядя в сторону зеркала.

1. На каком расстоянии (от себя) увидел бы наблюдатель А изображение при отсутствии линзы?

2. На каком расстоянии (от себя) видит наблюдатель А изображение при наличии линзы?

3. Найдите максимальную скорость этого изображения при наличии линзы.

Решение. Ответ на первый вопрос можно получить сразу. В самом деле шарик S, как следует из условия, находится на расстоянии 140 см от линзы. Так как угол зрения наблюдателя А с зеркалом равен 45°, то стало быть расстояние между наблюдателем А и изображением шарика равно 40 см+140 см=180 см.

Для ответа на второй вопрос определим расстояние f от линзы до изображения шарика S из формулы линзы . Отсюда . Знак «минус» означает, что изображение шарика мнимое и находится с той же стороны, что и сам шарик. Лучи света от шарика, преломлённые в линзе, рассеиваются, создав мнимое изображение S₁. Но попав на зеркало, сформируют изображениеS₂, которое видно наблюдателем А. Мнимое изображение S₁ находится на расстоянии a+f=50 см от зеркала. Поэтому изображение S₂ в зеркале находится от зеркала на таком же расстоянии 50 см. Следовательно, от наблюдателя А это изображение находится на расстоянии 50 см+40 см=90 см.

Для нахождения максимальной скорости изображения S₂ определим увеличение линзы . Так как f=Гd, то u=Гv=3 см/с.

Ответ: 1) 180 см; 2) 90 см; 3) 3 см/с

Задача 3 (Олимпиада «Физтех-2015).Оптическая система состоит из тонкой собирающей линзы с фокусным расстоянием F=25 см и небольшого плоского зеркала и экрана Э (см. рисунок). Плоскость зеркала составляет угол 45° с главной оптической осью линзы. Расстояние между линзой и зеркалом равно 50 см. Шарик S находится на расстоянии d=30 см от линзы и колеблется вблизи оптической оси, двигаясь перпендикулярно ей и имея максимальную скорость v=3 см/с. На экране наблюдается резкое изображение шарика.

1. На каком расстоянии от линзы и где надо было бы поместить экран для наблюдения изображения при отсутствии зеркала?

2. Найдите расстояние между зеркалом и экраном.

3. Найдите максимальную скорость изображения на экране.

Решение. Если зеркало отсутствует, то экран надо поместить на главной оптической оси линзы на расстоянии, определяемой формулой линзы: . Отсюда .

Наличие зеркала приводит к изменению направления лучей. Если при этом изображение должно быть в зеркале по-прежнему резким, то и суммарное расстояние от линзы до зеркала и от зеркала до экрана должно быть 150 см. Так как между зеркалом и линзой 50 см, то от зеркала до экрана 100 см.

Для нахождения максимальной скорости изображения определим увеличение линзы . Так как f=Гd, то u=Гv=15 см/с.

Ответ: 1) 150 см; 2) 100 см; 3) 15 см/с

Задача 4 (Олимпиада «Физтех-2014). Фокусное расстояние собирающей линзы равно F. Муха в некоторый момент пересекает главную оптическую ось линзы на расстоянии от линзы 7F/5, двигаясь со скоростью v под углом α (tg α =4/3) к оси линзы (см. рисунок).

1. На каком расстоянии от линзы находится изображение мухи в этот момент?

2. Под каким углом изображение мухи пересекает главную оптическую ось?

3. Найдите скорость изображения мухи в этот момент.

Решение. Для ответа на первый вопрос используем формулу линзы . Отсюда .

Из рисунка понятно, что . Поэтому .

Сложнее ответить на третий вопрос. Для начала выразим зависимость проекции скорости изображения на главную оптическую ось от проекции скорости изображения. Для этого выразим из формулы линзы расстояние от линзы до изображения: . При изменении положения предмета изменяется и положение его изображения. Проекция скорости изображения на оптическую ось можно найти продифференцировав предыдущее выражение:

.

или

.

Знак «минус» означает, что если расстояние между предметом и линзой уменьшается, то расстояние от изображения этого предмета до линзы увеличивается.

Так как tg α =4/3, то , а , то . Поэтому

.

Откуда

Ответ: 1) ; 2) ; 3)

Задачи для самостоятельного решения.

1. (Олимпиада «Физтех-2015). Оптическая система состоит из тонкой собирающей линзы с фокусным расстоянием F=30 см и небольшого плоского зеркала (см. рис.). Плоскость зеркала составляет угол 45° с главной оптической осью линзы. Расстояние между линзой и зеркалом 40 см. Гайка S находится на расстоянии d=20 см от линзы, колеблется вблизи оптической оси, двигаясь перпендикулярно ей и имея максимальную скорость v=2 см/ с. Наблюдатель А, находясь на расстоянии 50 см от зеркала, следит за изображением гайки, глядя в сторону зеркала.

1. На каком расстоянии (от себя) увидел бы наблюдатель А изображение при отсутствии линзы?

2. На каком расстоянии (от себя) видит наблюдатель А изображение при наличии линзы?

3. Найдите максимальную скорость этого изображения при наличии линзы.

2. (Олимпиада «Физтех-2015). Оптическая система состоит из тонкой собирающей линзы с фокусным расстоянием F=18 см, небольшого плоского зеркала и экрана Э (см. рис.). Плоскость зеркала составляет угол 60° с главной оптической осью линзы. Расстояние между линзой и зеркалом 20 см. Муха S пересекает линию АВ, находясь на расстоянии 52 см от зеркала, двигаясь перпендикулярно АВ и имея скорость v=9 см/с.

1. На каком расстоянии от линзы надо поместить экран для наблюдения резкого изображения мухи?

2. Найдите скорость изображения на экране.

3. (ДВИ МГУ 2013) В круглое отверстие в непрозрачной ширме вставлена тонкая собирающая линза, радиус которой совпадает с радиусом отверстия R=1 см. Если перед линзой на её главной оптической оси поместить точечный источник света, то на экране, находящемся по другую стороны от линзы на расстоянии b=20 см, появится светлое пятно радиуса r₁=2 см. Если же, не трогая экран и источник, убрать линзу, то радиус пятна станет равным r₂=2,4см. Определите оптическую силу D линзы, учитывая, что при удалении экрана от линзы светлое пятно на экране вначале уменьшается, а затем начинает увеличиваться.

4. (ДВИ МГУ 2013) В круглое отверстие в непрозрачной ширме вставлена тонкая собирающая линза, радиус которой совпадает с радиусом отверстия R=1 см. Если перед линзой на её главной оптической оси поместить точечный источник света, то на экране, находящемся по другую стороны от линзы на расстоянии b = 20 см, появится светлое пятно радиуса r₁ = 2 см. Если же, не трогая экран и источник убрать линзу, то радиус пятна станет равным r₂ = 3 см. Определите· оптическую силу D линзы, учитывая, что при удалении экрана от линзы светлое пятно на экране монотонно увеличивается.

5. (Олимпиада «Физтех-2014). Жук ползёт со скоростью v = 0,64 см/с к рассеивающей линзе с фокусным расстоянием (по модулю) F = 16 см вдоль прямой, параллельной её главной оптической оси и расположенной на расстоянии r = 3F/4 от оси (см. рисунок). В некоторый момент жук находится на расстоянии 3F от линзы.

1. На каком расстоянии от линзы находится изображение жука в этот момент?

2. Под каким углом к главной оптической оси движется изображение жука? (Найти значение любой тригонометрической функции угла)

3. Найти скорость изображения жука в этот момент.