Элективный курс Чем мир держится

Министерство образования и науки РФ

Главное управление народного образования

город Иркутск МОУ СОШ № 3

Чем мир держится

Программа элективного курса по физике для обучающихся 9 класса

Разработала: Внучкова Татьяна Степановна, преподаватель физики, высшая квалификационная категория

Иркутск - 2014 год

Пояснительная записка

Сперва собирать факты, и только после этого связывать их мыслью.

Аристотель

Элективный курс « Чем мир держится» создаётся с целью ознакомления обучающихся с многовековой историей исследования Всемирного Тяготения и современных взглядов на него, формирования на этой основе интереса обучающихся к изучению физики и астрономии и воспитания чувства гордости за физическую науку.

Ознакомление обучающихся с ходом исследования природы гравитации помогает обогатить школьный курс физики яркими историческими фактами, представить основные понятия и законы физики в их развитии. В предлагаемом элективном курсе акцент будет сделан на изучении истории развития идеи тяготения и её творцов, начиная от великих учёных древности Платона и Аристотеля до современных учёных - физиков.

Данный элективный курс решает задачи:

• углубления знаний о материальном мире и методах научного познания природы на основе знакомства с историей развития идеи гравитации;

• развития познавательных интересов, интеллектуальных и творческих способностей обучающихся в процессе самостоятельного приобретения знаний и умений по физике с использованием различных источников информации, в том числе средств современных информационных технологий;

• овладения умениями проводить наблюдения, планировать и выполнять эксперименты, выдвигать гипотезы и строить модели для объяснения экспериментальных фактов;

• воспитания навыков сотрудничества в процессе совместной работы, уважительного отношения к мнению оппонента в процессе дискуссии, развития способности давать морально-этическую оценку фактам и событиям.

Ожидаемые результаты от элективных занятий:

• получение представлений о вкладе учёных в развитие идеи гравитации, методах научного познания природы и современной физической картине мира;

• развитие познавательных интересов, интеллектуальных и творческих способностей на основе опыта самостоятельного приобретения новых знаний, анализа и оценки новой информации;

• приобретение опыта поиска информации по заданной теме, составления реферата и устного доклада по составленному реферату.

• сознательное самоопределение ученика относительно профиля дальнейшего обучения или профессиональной деятельности.

Курс построен с опорой на знания и умения, полученные обучающимися при изучении физики в основной школе.

При изучении данного элективного курса внимание уделяется не столько

на приобретение дополнительной суммы знаний по физике, сколько на развитие способностей самостоятельно приобретать знания, критически оценивать полученную информацию, излагать свою точку зрения по обсуждаемому вопросу, выслушивать другие мнения и конструктивно обсуждать их.

Ведущими формами занятий являются лекции, семинары и практические занятия в виде защиты домашних самостоятельных творческих работ. Темы семинарских занятий объявляются обучающимся заранее и каждая группа учеников сама выбирает тему своего выступления на предстоящем занятии. Семинары проходят в форме защиты проектов по выбранным темам. Творческие задания обучающиеся выполняют самостоятельно в виде домашних заданий и защищают их на практических занятиях.

В ходе изучения данного элективного курса обучающиеся не столько выясняют детали, сколько усваивают главное - ход и закономерности развития человеческой мысли, обращённой к научной проблеме тяготения; принципиальные различия - и общие черты - в том, как эта проблема решалась на протяжении истории; выводы науки, основанные на экспериментах и расчётах; наконец, человеческую сторону в познании физической реальности.

Содержание программы

9 класс (18ч)

Программа элективного курса состоит из 3 частей. Первая часть - «Вчера» - посвящена истории тяготения до появления общей теории относительности. Вторая - «Сегодня» - изучает современную ситуацию в науке о гравитации. Третья - «Завтра или никогда» - разнородна; в ней есть информация о грядущих открытиях, в неизбежности которых учёные уверены, есть попытки заглянуть в будущее науки, есть изложение идей, вызывающих у большинства физиков сильные сомнения.

1.Вчера (6ч)

Догадки Платона и Аристотеля. Галилео Галилей и его три открытия: законы падения тел и движения маятников, принцип относительности и закон инерции. Иоганн Кеплер и его законы небесной механики.

Исаак Ньютон. Закон открыт!

Индивидуальные творческие задания

Морские приливы и отливы на Земле.

Ускорение свободного падения на Земле, Луне и Юпитере.

Применение Закона Всемирного Тяготения к расчётам траекторий полётов искусственных спутников Земли и космических кораблей.

2. Сегодня (6ч.)

Современная теория гравитации - общая теория относительности. Специальная теория относительности Эйнштейна и теория гравитации. Масса инертная и масса гравитационная. Предсказание Эддингтона о наличии в космосе гравитационных линз, сильно преломляющих лучи света, идущие к Земле. Вселенная Фридмана. Происхождение и эволюция звёзд. Гравитационный коллапс. Чёрная дыра.

Индивидуальные творческие задания

Масса инертная и масса гравитационная.

Теория Александра Фридмана о расширяющейся Вселенной.

Методика поиска «линз Эддингтона».

Тайны Чёрных Дыр.

3.Завтра или никогда (4 ч.)

Гравитационные волны. Использования энергии тяготения в космосе. Масса со знаком минус. Другие теории гравитации: теория английского физика Уайтхеда, обобщённая теория гравитации Бренса - Дике, теория академика А. А. Логунова.

Индивидуальные творческие задания

Гравитационные волны и поиск внеземных цивилизаций.

Гравитационная энергия Солнца управляет полётами космических кораблей к планетам Венере и Марсу.

Гравитационные генераторы, добыча энергии из чёрной мини - дыры.

4. Обобщающая конференция (2ч.)

Организация и проведение аттестации учеников

Наиболее подходящей для элективных занятий может быть зачётная форма оценки достижений обучающихся на основе выступлений на семинарах, при защите индивидуальных творческих заданий на практических занятиях. При выполнении индивидуальных творческих заданий обучающиеся должны выделять главные признаки наблюдаемых явлений, кратко и логически последовательно излагать свои мысли по данной проблеме, делать выводы.

Итоговый зачёт ученику по всему элективному курсу можно выставить по таким критериям: не менее одного выступления с докладом на семинарах и выполнение не менее одного индивидуального творческого задания.

Темы рефератов

Вчера

1. Догадки. Аристотель и многие другие

2. Подступы. Галилей и Кеплер

3. Закон открыт! Время признания. Эпоха триумфа и трагедия дальнодействия

4. Сегодня

1. О трёх принципах относительности: галилеевском, частном принципе относительности Эйнштейна и общем принципе относительности

2.Проверка в бою. Эксперименты в области теории Гравитации

3.На старой Земле и рядом

4.Слава маятнику

5.На весах жизни

6. Без тяжести

7.Загадка тяготения - загадка?

Завтра или никогда

1. Волны кривизны, или в небо, за звёздами

2. Тяготение, работай!

3. Масса со знаком минус

4. Старые законы, новые законы

Учебно - тематический план

№ п/п

Наименование разделов и тем курса

Всего

часов

Лекции

Семинары

Практические

занятия

Форма

контроля

1.

Вчера.

Платон и Аристотель. Открытия в теории тяготения.

Законы небесной механики. Закон Всемирного Тяготения.

6

2

2

2

Защита рефератов

2.

Сегодня.

Специальная теория относительности и теория гравитации. Масса инертная и масса гравитационная.

Вселенная. Эволюция Звёзд. Чёрные Дыры.

6

2

2

2

Защита творческих работ.

3.

Завтра или никогда.

Гравитационные волны. Использование энергии гравитации в космосе. Другие теории тяготения.

4

2

2

Защита творческих работ.

4.

Обобщающая конференция

2

Защита рефератов.

Итого 18ч. 6ч. 4ч. 6ч.

Литература для учителя

Ильин В. А. История физики. М. ACADEMIA, 2003г.

Кудрявцев П. С. История физики, Т. I-III. М. Просвещение, 1956 - 1971г.г.

Дорфман Я. Г. Всемирная история физики с начала XIX до середины XX века. М. Наука, 1979г.

Воронцов - Вельяминов Б. А. Очерки о Вселенной. М. Наука, 1980г.

Бронштэйн В. А. Гипотезы о звёздах и Вселенной. М. Наука,1974г.

Гурштейн А. А. Извечные тайны неба. М. Просвещение, 1991г.

Левитан Е. П. Физика Вселенной. М. Наука, 1976г.

Подольный Р. Г. Нечто по имени ничто. М. Детская литература, 1987г.

Сотникова Р.Т., Климушкин Д.Ю.

Основы звездной эволюции и космологии: Учеб. пособие. - Иркутск: Иркут. ун-т, 2005г.

Литература для обучающихся

Энциклопедия для детей. ФИЗИКА. Т. 16 - М. : Аванта, 2000г.

Энциклопедический словарь юного физика.- М. : Педагогика, 2002г.

Хрестоматия по физике. Под ред. Профессора Б. И. Спасского. Учебное пособие для учащихся. - М. Просвещение, 1982г.

Internet - ресурсы.

Видеофильмы.

Приложения

Гравитационные линзы. Экспериментальная проверка ОТО была предложена ещё А. Эйнштейном. При этом он указывал на три эффекта: отклонение световых лучей при прохождении вблизи массивного тела; вращение перигелиев планет; гравитационное смещение длин волн электромагнитного излучения. Все эти эффекты весьма малы, но, тем не менее, уже, по крайней мере, в 1919г. впервые удалось измерить предсказанное этой теорией отклонение световых лучей в гравитационном поле Солнца. Однако, достигнутая точность не так уж велика, причём по хорошо известной причине: в пределах Солнечной системы сравнительно слабое гравитационное поле.

К числу интересных эффектов ОТО, которые могут наблюдаться уже в слабым гравитационных полях, относится линзоподобное действие масс (звёзд, галактик) на проходящие вблизи них электромагнитные волны. Расчёт такой гравитационной линзы был опубликован Эйнштейном в 1936г., а в 1979г. было высказано предположение, что двойной квазар 0957+561 представляет собой на самом деле два изображения одного квазара, и роль гравитационной линзы играет находящаяся примерно на половине пути между квазаром и нами эллиптическая галактика. За последующие десятилетия обнаружено множество гравитационных линз. Из сопоставления статистических данных о количестве и типах галактик с числом обнаруженных гравитационных линз, было также сделано заключение о присутствии во Вселенной темной энергии.

С точки зрения проверки ОТО в сильных гравитационных полях некоторый интерес представляют нейтронные звёзды и черные дыры. На их поверхности гравитационное поле в десятки тысяч раз сильнее, чем в пределах Солнечной системы. Уже само их обнаружение явилось бы качественным подтверждением справедливости ОТО в сильных полях. Существование черных дыр можно было бы считать доказанным, если бы из наблюдений удалось показать, что радиус массивного тела равен его гравитационному радиусу. Современные оценки верхних пределов для характерных размеров компактных объектов примерно на порядок больше, чем величины их гравитационных радиусов. Количественные измерения вблизи черных дыр могут послужить детальной проверкой ОТО в сильных поля.

Голубые карлики. Заключительная стадия эволюции звезд с массой Солнца - образование белого карлика: компактного объекта с плотностью вещества ρ ≈ 10⁶ г/см³. Медленно остывая, белые карлики постепенно излучают запасенную в их недрах тепловую энергию. У наиболее горячих белых карликов эффективная температура достигает 7·10⁴ К, но известны и более холодные объекты с температурой вплоть до 5 000 К. Предполагается, что карлики остывшие до критической температуры 4 200° по Цельсию, начинают излучать голубоватое свечение. Причиной этого являются молекулы водорода, которые в белых карликах находятся под огромным давлением. Эти молекулы водорода поглощают инфракрасные лучи, а излучают в синей части спектра.

Первый голубоватый карлик был обнаружен в 1997 году. Вскоре после этого были открыты в гало Млечного Пути еще три голубых карлика. К настоящему времени обнаружено 38 остывающих карликов. Согласно теории эволюции, возраст белых карликов оценивается примерно в 10 миллиардов лет. Это самые старые звезды Галактики. Изучение угасающих голубых карликов может помочь в получении информации о космических событиях, происходивших 10-13 миллиардов лет назад. Поиски этих объектов продолжаются в современных обсерваториях с применением самых совершенных технических средств.

Свойства ядер галактик. Галактики в большинстве случаев имеют в центральных частях компактные сгущения звезд и газа, которые принято называть ядрами. Среди галактик выделяется сравнительно немногочисленная (1% от общего числа) группа галактик с активными ядрами. В активных ядрах галактик наблюдаются мощные нестационарные процессы, приводящие к высокой светимости ядер в рентгеновском, ультрафиолетовом, оптическом, инфракрасном и радиодиапазонах. Квазары также представляют собой очень активные ядра удаленных галактик с красным смещением, соответствующим расстояниям в тысячи мегапарсеков (миллиарды световых лет сотен галактик.) Механизм выделения большого количества энергии ядрами галактик и квазарами остается неизвестным. Предполагается, что он связан с высвобождением энергии гравитационного взаимодействия газа с массивным центральным объектом галактики, которое, как показывают расчеты, может быть значительно более эффективным, чем высвобождение энергии при ядерных реакциях. Необходимая гравитационная энергия может выделяться при падении газа, например, на сверхмассивную черную дыру. Яркое излучение рождается в горячем аккреционном газовом диске, который с очень высокой скоростью вращается вокруг массивной черной дыры.

Таким образом, наблюдения квазаров и других галактик с активными ядрами приводит к выводу о возможном существовании сверхмассивных черных дыр в ядрах галактик.

Определение массы ядра нашей Галактики. В 1996 году была опубликована работа германских астрономов, которые в течение трех лет наблюдали с высоким угловым разрешением центр нашей Галактики в инфракрасном диапазоне. Ядро Галактики скрыто для наземных наблюдений мощным слоем межзвездной пыли, и только в инфракрасном диапазоне, для которого пыль прозрачна, можно непосредственно увидеть звезды вблизи ядра. В результате за три года наблюдений были измерены перемещения звезд вблизи ядра Галактики, что позволило дать надежную оценку массы центрального ядра Галактики, которая составила 2,4·10⁶ масс Солнца. Концентрацию такой массы, по мнению многих астрофизиков, можно объяснить только присутствием сверхмассивной черной дыры.

К настоящему времени исследованы и надежно оценены массы и характерные размеры ядер у 41 галактики ( по результатам на 2003 год). Эти исследования делают вероятной гипотезу о том, что в ядрах галактик находятся сверхмассивные черные дыры.

Новейшие наблюдения. Совсем недавно телескоп им. Хаббла передал снимки, показывающие центр крупной галактики «Центавр-А» (NGC 5128), расположенный от нас на расстоянии 10 миллионов световых лет. Эту галактику окружает темный пояс пыли со множеством недавно рожденных звезд. Снимки, сделанные в инфракрасных лучах, помогли заглянуть за пылевой занавес. Там обнаружена струя горячего газа, падающая на сверхмассивный объект. Этот объект содержит массу, равную 10⁹ масс Солнца, а размеры его очень компактны: немногим больше нашей солнечной системы.

В ядре галактики NGC 6240, находящейся от нас на расстоянии примерно 400 миллионов световых лет, обнаружены два супермассивных объекта. Они находятся друг от друга на расстоянии в 3000 световых лет и вращаются вокруг общего центра масс со скоростью около 10 км/с. При этом они сближаются, и из-за сохранения момента количества движения вращаются все быстрее. Сосуществование таких объектов объясняют тем, что NGC 6240 - результат слияния двух галактик, именно поэтому она такая яркая. Это были две галактики, размером примерно с нашу Галактику.

Чёрные Дыры. Определение. Звезда, масса железного ядра которой после потери вещества превышает определенную критическую величину, начав сжиматься в конце своей активной жизни, не сможет остановить сжатия даже на стадии нейтронной звезды. Конечным результатом гравитационного сжатия таких звезд должно явиться образование особого класса космических объектов, получивших название черных дыр. Нижний предел значения критической массы черных дыр превосходит три массы Солнца. Сверхмассивные черные дыры (до миллиардов солнечных масс), по-видимому, существуют в ядрах галактики. Кроме того, теория предсказывает присутствие во Вселенной первичных черных дыр, т.е. дыр космологического происхождения.

Возможность существования черных дыр является следствием ОТО, предсказывающей отсутствие устойчивого равновесия для холодных звезд в несколько солнечных масс. Итак, черные дыры можно определить, как космические объекты, возникающие в результате релятивистского гравитационного коллапса массивных тел.

Понятие гравитационного радиуса. Если после потери устойчивости в звезде не происходит освобождения энергии, достаточной для остановки сжатия или для частичного взрыва, при котором оставшаяся после взрыва масса стала бы меньше критической, то центральные части звезды коллапсируют^*) и за короткое время достигают радиуса

r_g = 2GM/c²,

где М - масса звезды, с - скорость света, G - постоянная тяготения. Никакие силы не смогут воспрепятствовать дальнейшему сжатию звезды, если ее радиус уменьшился до r_g. Радиус r_g называется "гравитационным радиусом", а сфера радиуса r_g называется "сферой Шварцшильда". Величина гравитационного радиуса очень мала. Так, для Солнца r_g = 2,96 км, а для Земли r_g = 0,88 см.

Понятия гравитационного радиуса и сферы Шварцшильда связаны с именем директора обсерватории в Геттингене и Потсдаме Карла Шварцшильда. Ему принадлежат основополагающие вклады во многие разделы астрофизики, в том числе и в ОТО. После того, как Эйнштейн сформулировал свои уравнения ОТО, Карл Шварцшильд еще в 1916 г. получил для них первые точные решения, описывающие, в частности, и свойства черных дыр. Так, из решений уравнений гравитации Эйнштейна для центрально-симметричного поля тяготения (решение Шварцшильда) следует , что вблизи массивного тела массы М сила, действующая на частицу массы m, определяется формулой: ,

где r - расстояние между телами. Видно, что с приближением частицы к притягивающему телу на расстояние r = r_g=2GM/c² сила притяжения неограниченно возрастает.

Свойства черных дыр. С уменьшением размеров коллапсирующей звезды, на ее поверхности неуклонно растут гравитационные силы. Наконец, когда звезда сожмется до диаметра в несколько километров, сила тяжести достигает такой величины, что ничто - даже свет - не может покинуть ее поверхность. Таким образом, для внешнего наблюдателя коллапсирующая звезда как бы "пропадает". Поэтому такая звезда получила образное название "черной". Черная дыра представляет собой область непреодолимого гравитационного притяжения размерами всего в несколько километром в диаметре, т.е. в некотором роде, это действительно "дыра", поскольку, раз попав в нее, ничто уже не может вернуться, даже луч свет не в состоянии уйти от нее.

Для того, чтобы преодолеть тяготение и вырваться из черной дыры потребовалась бы вторая космическая скорость больше световой, что противоречит ОТО, согласно которой никакое тело не может развить скорость большую скорости света.

До некоторой степени это можно качественно понять, оставаясь и в рамках ньютоновской теории. Легко убедиться, что при сжатии тела до радиуса r_g параболическая скорость на его поверхности (рассчитанная по ньютоновской теории) становится равной скорости света. Дальнейшее сжатие должно происходить со сверхсветовой скоростью, что запрещено специальной теорией относительности.

Рассмотрим это на простом примере. Вспомним, что второй космической скоростью называется скорость, которую следует сообщить телу, чтобы оно без воздействия каких-либо дополнительных сил преодолело притяжение данного космического объекта и навсегда покинуло его. Вторая космическая скорость на поверхности небесного тела рассчитывается по формуле:

V_2K = ,

где G - постоянная тяготения, М - масса космического объекта, r - его радиус. Сделаем оценку второй космической скорости ля черной дыры, подставив вместо радиуса r значение гравитационного радиуса r_g. Получим:

v_2K =Ö2GM×c²/2GM = c,

что и требовалось доказать.

В действительности это означает, что ньютоновская теория гравитации и эйнштейновская специальная теория относительности несовместимы в рамках единой картины мира; свойства областей размерами порядка r_g могут быть описаны лишь в понятиях релятивистской теории относительности Эйнштейна и общей теории гравитации.

Итак, черные дыры - это области пространства-времени, которые как бы "выпадают" из нашего мира, и невозможен обмен информацией между нашим миром и внутренней областью черных дыр. Никакое излучение - фотонное, нейтринное или корпускулярное, - из такой "дыры" уже не выходит. Вещество, ушедшее под радиус черной дыры, полностью обособляется от остального мира, но не исчезает из него бесследно: остается сильное гравитационное поле черной дыры, определяемое ее массой, и оказывающее влияние на окружающее пространство.

Возможность обнаружения черных дыр. Превратившись в черную дыру, небесное тело не исчезает из Вселенной. Оно дает о себе знать внешнему миру благодаря своей гравитации. Так, например, черная дыра может отклонять световые лучи, проходящие вблизи нее, или вступить в гравитационное взаимодействие с другими телами и образовать с другой звездой двойную систему. Поиски черных дыр во Вселенной можно проводить по их полю тяготения, по тем эффектам, которые возникают при падении в этом поле окружающего вещества. Наиболее сильно эффекты проявляются тогда, когда черная дыра входит в состав двойной звездной системы, в которой одна звезда - оптический компонент, а другая - черная дыра.

Черные дыры в двойных системах. Особый вид двойных звезд представляют рентгеновские двойные звезды (Х-звезды). К настоящему времени с бортов специализированных спутников открыты десятки тысяч компактных рентгеновских источников, большинство из которых представляют собой рентгеновские двойные системы. Как правило, оптический компонент в таких системах - обычная звезда спектральных классов О-М нормального (солнечного) химического состава, а спутник - релятивистский объект: нейтронная звезда или черная дыра. В гравитационном поле своего спутника оптическая дыра является "донором", поставляющим на него вещество. Аккреция (свободное падение) этого вещества на релятивистский объект приводит к разогреву плазмы до температур в десятки и сотни миллионов градусов и к появлению мощного рентгеновского излучения. Рассмотрим механизм перетекания. Гравитационное поле звезды характеризуется сферическими поверхностями, на каждой из которых гравитационный потенциал имеет определенное значение. Для двойных звезд поверхности равного потенциала называются поверхностями Роша. Внутренние поверхности Роша - это сферы, охватывающие каждую звезду отдельно. Предельной поверхностью Роша называется пара поверхностей, соприкасающихся между собой в одной точке (Рис. 14, а). Эта точка контакта называется внутренней точкой Лагранжа; в ней газ может перетекать из одной полости в другую. Положение точки Лагранжа зависит от отношения масс звезд, она ближе к менее массивной звезде.

В случае аккреции на черную дыру, находящуюся в двойной системе, аккрецирующий газ сохраняет свой момент вращения, препятствующий свободному падению вещества. Как показано в работе [ * ], струя газа, несущая с собой большой вращательный момент, образует вокруг черной дыры вращающийся газовый диск (Рис. 14, б). Благодаря трению между соседними слоями вещество каждого слоя отдает свой момент вращения внешним слоям и приближается к черной дыре. При достаточно большом потоке массы внутренние части диска разогреваются настолько, что излучают рентгеновские кванты с энергией 1-10 КэВ со светимостью 10³⁷-10³⁸ эрг/с, создавая тем самым интенсивный рентгеновский источник, который можно обнаружить по его свечению.

Таким образом, возникновение рентгеновского ореола вокруг черных дыр при аккреции газового потока от второй звезды двойной системы делает черные дыры видимыми. Решающее значение для отождествления источника рентгеновского излучения с черной дырой имеет определение его массы.

Методы определения масс черных дыр. Известно, что массу звезды можно определить, если она входит в состав двойной системы. Третий закон Кеплера в этом случае дает сумму масс компонент (в единицах солнечной массы):

, (1)

где - большая полуось истинной орбиты спутника вокруг главной звезды, которую в этой случае считают неподвижной, Т - период обращения. Расстояние r компонент от общего центра масс обратно пропорциональны их массам:

r₁/r₂ = M₂/M₁ (2)

Найденная сумма масс и их отношение позволяют получить массу каждой звезды в отдельности. Эту методику можно использовать только для визуально-двойной звезды, расстояние до которой известно. Для других типов звезд, например, спектрально-двойных, необходима дополнительная информация, которую, как правило, получают из наблюдений доплеровских смещений линий в спектре оптической звезды, вызванных ее орбитальным движением и из анализа оптической кривой блеска двойной системы. Эти вопросы достаточно хорошо освещены в учебной литературе [ ].

Кривая лучевых скоростей отражает зависимость от времени проекции К₁ вектора полной скорости звезды на луч зрения. Построив ее, можно определить амплитуду синусоиды, т.е. орбитальную скорость.

Пусть орбиты звезд двойной системы круговые. Тогда при круговом равномерном движении орбитальная скорость равна длине окружности, деленной на период.

K₁ = , (3)

где i - наклонение орбиты системы, т.е. угол между нормалью к плоскости орбиты и лучом зрения. Очевидно, что

= r₁ + r₂ (4)

Решив систему уравнений (1-4), получим:

, (5)

где в правой части остались известные или измеряемые величины, а левая имеет размерность массы и называется функцией масс - f₁(M), т.е. это спектральная функция, определяемая по линиям первой звезды. Разделим f₁(М) на массу второй звезды:

f₁(M)/M₂ = .

Легко убедиться, что правая часть этого равенства меньше или равна единице. Значит, справедливо неравенство:

М₂³ f₁ (М) (6)

Например: наблюдаемая полуамплитуда кривой лучевых скоростей оптической звезды, т.е. К₁ = 400 км/с; период кривой блеска, т.е. орбитальный период оптической звезды составляет 1,2 дня. Подставив эти значения в формулу (5) получим f₁(M) = 8 M (Cолнца), что дает нижний предел массы М₂ второй, невидимой звезды.

Для точных расчетов масс черных дыр используются дополнительные данные спектральных и фотометрических наблюдений, о которых можно узнать из работ [ ].

Результаты. К настоящему времени известно десять двойных систем с массивными (с массами более трех солнечных) рентгеновскими источниками.

Вспомним, что согласно ОТО, релятивистский объект можно считать кандидатом в черные дыры, если масса его превышает три солнечных. Массы всех десяти рентгеновских источников надежно определены, и значения их превышают теоретический верхний предел для массы нейтронной звезды. Также, ни у одного из этих массивных рентгеновских источников не наблюдаются строго периодические пульсации рентгеновского излучения, характерные для быстро вращающихся сильно намагниченных нейтронных звезд, обладающих твердой поверхностью. Спектры рентгеновского излучения у кандидатов в черные дыры и у нейтронных звезд также различаются.

Различия в наблюдательных проявлениях нейтронных звезд и кандидатов в черные дыры имеют фундаментальное значение для проверки ОТО в сильных гравитационных полях. Эти различия полностью подтверждают предсказания ОТО о существовании верхнего предела массы для нейтронной звезды (3 массы Солнца) и предсказание, согласно которому черные дыры не имеют твердых поверхностей и сильных магнитных полей.

Таким образом, наблюдательные факты являются аргументом в пользу того, что массивные рентгеновские источники в двойных системах действительно являются черными дырами в смысле ОТО.

Исторически первым был открыт источник в созвездии Лебедя, Лебедь Х-1 (Х (икс) - от англ. Х-ray - "рентгеновские лучи"). В 1983 г. появился второй надежный кандидат в черные дыры - LMC Х-3. Он был найден в спутнике нашей Галактики - Большом Магеллановом Облаке (Large Magellanic Сloud - LMC). Третий источник находится в созвездии Единорога; сообщение о четвертом - также в созвездии Лебедя - поступило в конце 1991 г. Остальные шесть объектов распределены в созвездиях Мухи, Персея, Скорпиона, Змееносца и - LMC X-1 - в Большом Магеллановом Облаке.

*⁾ В очень массивных звездах гравитация способна "выжать" из материи почти половину ее энергии покоя Е = mc², т.е. Егр = 1/2 Е или GM²/R = Mc²/2, откуда R = 2GM/c².