Учебное пособие по теоретической механике

М.И. Бармин

КАК СДАТЬ ЗАЧЕТ, ЭКЗАМЕН и РАСЧИТАТЬ КУРСОВУЮ РАБОТУ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ?

Учебное пособие с решением задач и картами контроля

Санкт-Петербург

2010

С Т А Т И К А

Санкт - Петербург

2010

ВВЕДЕНИЕ

Посвящается профессору, доктору техн. наук ВАЛЬЩИКОВУ Ю.Н.

Данный конспект лекций составлен автором на базе анализа лекционных курсов для технологических специальностей ряда Вузов различных направлений.

Общенаучный курс теоретической механики , являющийся основой инженерных : деталей машин, теории механизмов и машин, сопротивления материалов и др. в настоящее время необоснованно сокращен в целом ряде ВУЗов страны. Данный конспект ориентирован на объем курса до 102 учебных часов.

В конспекте представлены, как наиболее типовые экзаменационные вопросы, так и задачи по всем темам курса с подробным решением.

Конспект составлен автором с 47-летним опытом преподавания курса теоретической механики и может быть использован студентами-технологами ВУЗов и техникумов различных направлений при подготовке к зачетам и экзаменам как справочное пособие.

Авторы, кроме собственных методических разработок, использовали такие общеизвестные источниками, как С. М. Тарг «Краткий курс теоретической механики», А.А.Яблонский «Курс теоретической механики» ч.1 и ч. 2, а также «Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике», выпущенный коллективом авторов под руководством А.А.Яблонского в ЛИИЖТе; М.И.Бать, Г.Ю.Джанелидзе и А.С.Кельзон «Теоретическая механика в примерах и задачах» ч. 1 и ч. 2. и др.

Рецензенты:

Проф. каф. Физики СПбГУТД, д.т.н.А.Н.Гребенкин

Нач. каф. Физики и теплообмена СПбИГПС МЧС

России А.Н.Иванов, доц., к.т.н. Д.П.Волков

СТАТИКА

Лекция 1

Введение

Механика-наука о механическом движении материальных точек и абсолютно твердых тел и силовом взаимодействии их, а также и о состоянии их равновесия.

Материальная точка -тело, собственными размерами которого можно пренебречь по сравнению с размерами траектории его движения.

Траектория м.т. -линия, описываемая м.т. в процессе движения со временем «t».

Время «t» является независимой переменной, одинаковой для любых систем отсчета , таких как декартовы, полярные, естественные и др. системы координат, с которыми Вас знакомили в курсе Высшей математики и Физики, являющимся базой для классического курса теоретической механики.

Абсолютно твердое тело - материальное тело, обдадающее массой «m» - (не только как количество вещества в теле, но больше как мера инертности тела m= , где Р-вес тела, а g=9,81 м с -ускорение свободного падения), которое не деформируется ни при каких нагрузках и расстояние между двумя любыми точками аб. Т. Т. Всегда постоянно.

Классический курс теоретической механики разделяется на три крупных части:

1. СТАТИКА- изучает силовое взаимодействие аб. т. т. и случай их равновесия;

2. КИНЕМАТИКА-изучает перемещение точек и тел в отвлечении от сил и причин, вызывающих эти перемещения;

3. ДИНАМИКА- изучает механическое движение точек и тел с учетом силовых и кинематических факторов.

АКСИОМЫ СТАТИКИ

1. Если на тело не действуют никакие силы, то оно находится в состоянии равновесия.

Сила F- мера взаимодействия тел, характеризуемая тремя факторами: величиной или F , измеряемой в Ньютонах (н) или килограммах силы (кГс) (1 кГс 9,8 н), направлением и точкой приложения. (рис. 1.1.).

Линия действия силы F (л. д.) - линия, вдоль которой действует сила.

Состояние равновесия тела - состояние покоя или равномерного прямолинейного движения его.

2. Под действием 2-х равных, противоположно направленных и действующих по одной линии действия (л. д.) сил тело находится в состоянии равновесия. (рис.1.2.).

Такая система сил называется взаимно уравновешенной.

3. От присоединения или отбрасывания взаимно уравновешенной системы сил состояние тела не изменяется.

Следствие аксиомы 3: Точку приложения силы (точку А ) можно переносить вдоль линии действия тела, не нарушая его состояния.

Доказательство (рис. 1.3.):

Имеем тело и силу , приложенную в точке . В точке приложим = и взаимно уравновешенную ( = ), а затем отбросим взаимно уравновешенную систему сил и и получим (в) доказательство, т. к. = .

Понимать это важное на будущее следствие нужно так: для абсолютно твердого тела (аб. Т. т.) безразлично, будут ли его тянуть с силой F или с той же интенсивностью толкать силой F = F , лишь бы это было вдоль одной линии действия.

4. Равнодействующая 2-х непараллельных сил ( и ) находится по правилу сложения векторов графическим способом (рис. 1.4.). Т. е. = + равна диагонали параллелограмммма, построенного на этих силах как на сторонах и

приложена в точке пересечения этих сил (. А).

Равнодействующая (= + )- сила, оказывающая на тело такое-же воздействие, как и замененная ею система сил ( и ).

Примечание:

Сила ( = -), равная равнодействующей, но противоположно ей направленная по одной и той же л.д., называется уравновешивающей силой () (рис 1.5.)

5 Всякому действию соответствует равное и противоположно направленное противодействие.

На рис. 1.6. контактируют 2 тела в (.) А. Тело 1 воздействует на тело 2 силой, вызывая ответную реакцию, но несмотря на то, что эти силы н уравновешены, т. к. приложены к разным телам.

6. Равновесие твердого тела не нарушается при его затвердевании.

Например, стакан жидкости находится в равновесии и если эта жидкость, замерзнув в стакане, превратится в лед (аб. т. т.), то равновесие при этом не нарушится.

1.2. СВЯЗИ И РЕАКЦИИ СВЯЗЕЙ

Связями называются тела, ограничивающие возможные перемещения рассматриваемого объекта (аб. т. т.). Например, для книги, положенной на стол этот стол и будет связью, т. к. он не дает книге падать вниз под действием силы тяжести P=m g.

Есть связи без трения - идеальные связи и есть связи с трением, которые более близки к реальным конструкциям и деталям машин (подшипники, подпятники и т. п.).

Реакция идеальной связи всегда перпендикулярна к касательной плоскости, проведенной через точку соприкосновения 2-х тел (рис. 1.7, а).

Опора на угол, изображенная на рис. 1.7. (в) вызывает R , которая общей для плоскости бруса и вершины двухгранного угла ( . А) к. п. л.

Невесомые стержни от воздействия на них силовой нагрузки (рис. 1.7. с )испытывают усилия и , направленные по самим стержням.

Гибкие связи ( нити, веревки, канаты, тросы, цепи и т.д.) имеют реакцию [ () на рис. 1.7. (d) ], всегда направленную от объекта равновесия (о. р.).

Катковая (подвижная) опора [ рис. 1.7. (f)] имеет реакцию , всегда перпендикулярную плоскости опоры катков. Это типы связей, где реакция определена одним алгебраическим числом.

Есть типы связей, где реакция определяется 2-мя алгебраическими числами и для ее определения необходимо разложить ее на взаимно перпендикулярные составляющие [ рис. 1.8. (а) ] и , тогда величина , а направление вектора определяется направляющими косинусами углов с осями координат, например . К этим типам связей относят:

Цилиндрический шарнир (подшипник) и упор в вершину двухгранного угла [ рис. 1.8. а) и в) ].

Из типов связей с 3-мя, друг другу составляющими можно выделить такие как ЗАДЕЛКА [ рис. 1.8. (с) ] и СФЕРИЧЕСКИЙ ШАРНИР (подшипник). Здесь - составляющая , направленная по оси «OZ». В ЗАДЕЛКЕ помимо и возникает - реактивный момент, который и является третьим алгебраическим числом.

3. ДВА ТИПА ЗАДАЧ СТАТИКИ

Задачи 1-го типа: заданы все силы и реакции, а нужно опеределить в ка-

ком состоянии находится тело.

Задачи 2-го типа: задано состояние равновесия тела и активные силы, а

Определить нужно реакции связей.

В связи со значительным сокращением объема учебных часов теоретической механики, рассматриваются задачи только 2-го типа.

1.4. КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ СИЛ В СТАТИКЕ

Системой сил называется любая совокупность сил и других нагрузок, одновременно действующих на тело.

Различают плоские системы сил, где все силы лежат в одной плоскости XOY или в параллельных плоскостях и пространственные системы сил, где силы разбросаны по объему абсолютно твердого тела.

В данной работе рассматриваются в основном плоские системы сил, как наиболее широко распространенные в инженерном деле, но также уделено внимание и пространственным системам сил.

Каждая из этих групп имеет по 3 подсистемы, а именно:

СХОДЯЩИЕСЯ силы, где все линии действия сил пересекаются в одной точке;

СИСТЕМА ВЗАИМНО ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ, где все силы параллельны друг другу;

ПРОИЗВОЛЬНАЯ СИСТЕМА СИЛ, где все силы расположены произвольно как в плоскости XOY, так и в пространстве.

Таким образом имеем 6 систем сил: из них 3 плоских и 3 пространственных.

1.5.ПРОСТРАНСТВЕННАЯ И ПЛОСКАЯ СИСТЕМЫ СХОДЯЩИХСЯ СИЛ

На рис. 1.9. (а) изображена плоская система сходящихся сил. Пользуясь аксиомой № 4 ее можног привести к одной равнодействующей , поочередно складывая силы F .

Тогда …(1.2) для пространственных систем сходящихся сил и …(1.4.) для плоских.

Если вспомнить векторную алгебру[3], то

, где i, j, K - орты осей координат

и т.к. проекция результирующего вектора = + на ось «OX» [рис. 1.9. (c) ], т.е. + . Увеличивая число сил (I =1 n) приходим к выражению (1.5.), т. к. . Аналогично и . Тогда выражение (1.2.) может быть заменено на следующее:

и если эта равнодействующая = 0, то:

и

…(1.6).

Это и есть уравнения равновесия соответственно пространственной и плоской систем сил.

При графическом и графо-аналитическом решении задач ГРАФИЧЕСКИМ ПРИЗНАКОМ РАВНОВЕСИЯ СИСТЕМЫ СХОДЯЩИХСЯ СИЛ является замкнутость силового многоугольника, где конец последней силы приходится на начало первой - .

В дальнейшем, при рассмотрении примеров будем широко использовать уравнения равновесия 1.6 и в основном для плоских систем сил.

1.6.ТЕОРЕМА О 3-х НЕПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛАХ

«Если тело находится в равновесии под действием 3-х непараллельных сил, то линии действия их ОБЯЗАТЕЛЬНО пересекаются в одной точке».

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: На рис. 1.10. представлено тело, на которое действуют силы и приводящиеся к . Чтобы уравновесить и соответственно тело, к нему нужно приложить УРАВНОВЕШИВАЮЩУЮ СИЛУ = -. Только тогда тело будет в равновесии. Но по рис. 1.10 видно, что в случае равновесия все 3 силы, а именно , и пересеклись в одной точке - А. Теорема доказана.

Приведем примеры решения задачи статики для плоской системы сходящихся сил, где уравнениями равновесия являются уравнения 1.6., т. е.

Это задачи с двумя неизвестными. Для примеров выбраны задачи из «Сборник задач по теоретической механики» И.В.Мещерского 1987 г. издания 2.8, 2.15, 2.30 а,2.38, № 5, а также задача № 6.3 на пространственную систему сходящихся сил.

1.7.ПЛОСКАЯ СИТЕМА СХОДЯЩИХСЯ СИЛ. ТИПОВОЙ ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ( ЗАДАЧА № 2.8.).

Знак минус перед S говорит о том, что этот стержень сжат. Применяемое здесь правило повторного проектирования: сначала на плоскость, содержащую нужную ось, а затем на ось.

Задание для тренировки: № 2.7; 2.16; 2.30 (б); 2.39; 6.8.

ЛЕКЦИЯ № 2

1.8. ПАРА СИЛ И ЕЕ СВОЙСТВА

Система двух равных, противоположно направленных сил, линии действия которых параллельны, называются парой сил. (рис. 1.19 а, в).

Пара сил оказывает вращательное воздействие на абсолютно твердое тело. Количественно мера воздействия оценивается моментом пары сил

m= ..……………………………………………………………(1.7.)

Здесь: F - модуль любой из сил, образующих пару;

h - плечо пары сил, , т. е. кратчайшее расстояние (не АВ) между линиями действия сил и (рис. 1.11 а).

Знаки + или - , оценивающие направления вращения тела под действием данной пары сил.

Существует традиционное правило, согласно которому вращение тела ПРОТИВ ЧАСОВОЙ СТРЕЛКИ СЧИТАЕТСЯ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМ («+»). Единицы измерения момента пары сил: ( М или кГс ). Пара сил часто изображается так как показано на рис. 1.19 (с).

ВЕКТОР-МОМЕНТ ПАРЫ СИЛ "" перпендикулярен плоскости действия пары и смотрит острием в ту сторону, из которой вращение наблюдается происходящим против часовой стрелки.

Существует 4 теоремы теории пар сил, а именно:

Теорема I - не меняя воздействия пары на тело, ее можно переносить в

любое место тела в плоскости ее действия;

Теорема II - не меняя действия пары на тело ее можно переносить в

плоскость, параллельную плоскости ее действия;

Теорема III - пары сил, моменты которых равны () - статически

эквивалентны, т. е. одну пару ( ) можно заменить другой

(), сохраняя величину и знак момента пары сил;

Теорема IV - пара сил, лежащих в пересекающихся плоскостях склады-

ваются по правилу векторного сложения их векторов-мо-

ментов, т. е. …………….1.8.

Докажем теорему I, а остальные студентам следует освоить самостоятельно по учебнику.

Теорема I (рис. 1.20.). Здесь вс6е силы имеют одинаковый модуль, т. е. .

При доказательстве последовательно используются аксиомы статики № 3 и № 4. Сначала силы и переносим в (.) А и В. Затем прилагаем туда уравновешенные системы сил и ; потом по аксиоме № 4 складываем и ,получая . Аналогично получается = + ,.

Нетрудно видеть, что = и их по аксиоме № 3 можно отбросить. Тогда остается силы и перенести вдоль линии их действия в другое место в плоскости действия пары сил . Мы получили пару сил , которая равна , т. е. сохранили меру воздействия пары сил на тело при переносе. Теорема доказана.

1.9.МОМЕНТ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ПОЛЮСА

Вращательным воздействием на тело обладает не только пара сил со своим m, но и сила ,линия действия которой не проходит через полюс [ (.) О], вокруг которого может вращаться тело. ( см. рис. 1.21).

Принято считать векторное произведение ()……1.9

Здесь - радиус-вектор, проведенный из полюса О в точку А приложения силы . Величина . F Sin α , т.е. (Н.м).Судя по размерности , совпадающей с размерностью пары сил, мы видим здесь аналогию воздействия, т.е. тело вращается под действием одной силы , если она имеет плечо «h».

Если же линия действия силы ( на рис. 1.21.) проходит через (.) 0, то h=0 и тело не вращается.

Произведе6ние F.h оценивает удвоенную площадь треугольника ОАВ т.е. геометрически . Знак «+» берется, если тело вращается против часовой стрелки. При этом вектор-момент перпендикулярен плоскости треугольника ОАВ и соответственно направлен.

1.10.ПРИВЕДЕНИЕ ОДНОЙ СИЛЫ К ПОЛЮСУ ;МЕТОД ПУАНСО

Здесь ставится задача, где силу необходимо параллельно самой себе перенести из (.) А (рис. 1.22) в (.) В, не лежащую на линии действия (л.д.) силы , сохранив при этом степень воздействия силы на тело.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО МЕТОДА ПУАНСО: Приложим в (.) В систему уравновешенных сил и (рис. 1.22). Тогда имеем и , т.е. задача выполнена и при этом для сохранения степени воздействия переносимой силы на тело появляется ПРИСОЕДИНЕННАЯ ПАРА СИЛ и , момент которой .h равен моменту переносимой силы относительного нового полюса - (.) В, т.е.и m = BA.

Таким образом, при параллельном переносе силы в новый полюс появляется присоединенная пара сил, момент которой равен моменту переносимой силы относительно нового полюса. Эта и обеспечивает сохранение степени воздействия переносимой силы на тело после переноса ее в новый полюс, т.е. в (.) В.

Студентам следует твердо запомнить метод Пуансо , т.к. на его базе в дальнейшем мы будем упрощать сложные системы сил.

1.11.ПРИВЕДЕНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ПЛОСКОЙ СИСТЕМЫ СИЛ К ПОЛЮСУ; ВОЗМОЖНЫЕ СЛУЧАИ ПРИВЕДЕНИЯ; ТЕОРЕМА ВАРИНЬОНА И УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ

Пользуясь методом Пуансо можно упростить систему произвольно расположенных в одной плоскости сил и рассмотреть, к какому возможному минимуму можно свести произвольную плоскую систему сил, где количество сил не ограничено, т.е. I = 1 n..

На рис. 1.14 (а) изображена исходная плоская ролизвольная система сил. Пользуясь методом Пуансо можно перенести поочередно каждую из сил в произвольную (.) 0 , получая при каждом переносе соответствующую присоединенную пару сил m . Тогда [ рис. 1.14 (в) ] в полюсе (.) А видна система сходящихся сил, которые можно векторно сложить и получить так называемый ГЛАВНЫЙ ВЕКТОР СИСТЕМЫ сил , т.е.: ……………………..1.10

Векторная сумма ф-лы 1.10 уже встречалась в системе сходящихся сил, но там была равнодействующей, а в произвольной плоской системе сил надо еще сложить и присоединенные пары сил m .

Т. к. все m лежат в одной плоскости, то с учетом знаков моментов их можно сложить алгебраически и получить ГЛАВНЫЙ МОМЕНТ СИСТЕМЫ СИЛ F , т.е. ………….1.11

Таким образом в общем случае произвольная плоская система сил упрощается до двух показателей, а именно главного вектора R и и главного момента M . При этом возможны различные варианты. Рассмотрим все возможные случаи приведения данной системы сил к полюсу.

1. R0 , а М =0 - приведение к равнодействующей, равной главному вектору и приложенной в полюсе (.) 0 ,т.е.

2. R =0 , а М0 - приведение к паре сил ;

3. R0 и M0 - см. рис. 1.23.

Представим , где, а F = R . Расстояние d есть плечо пары сил R и F , а силы F = R , т.е. здесь опять действует метод Пуансо, т.к. мы имеем в новом полюсе О на строго определенном расстоянии d = = от старого полюса (.) О силу , т.е. равнодействующую, а силы и = - можно отбросить как взаимно уравновешенные.

Окончательно, в случае 3 система приводится к равнодействующей , приложенной в новом полюсе О , отстоящем от старого полюса (.) О на строго определенном расстоянии d = = .

ТЕОРЕМА ВАРИНЬОНА

Если оценить момент равнодействующей относительно полюса О , то и , но =, тогда m (R = =

Откуда m (R = ……………………………….1/12/.

Выражение 1.12 и есть теорема ВАРИНЬОНА для плоских систем сил.

ФОРМУЛИРОВКА - момент равнодействующей системы сил относительно произвольного полюса равен алгебраической сумме моментов всех входящих в систему сил относительно того же полюса.

4. R =0 и M =0 - случай равновесия.

5. Условия равновесия: = 0 и .

6. УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ: Т.к. R = R i +R .где и то имеем три уравнения равновесия и их формы:

(.) А,В,С - не лежат на одной прямой.

Выражение 1.13 (в) работает, когда линия АВ не перпендикулярна оси «ОХ» , а 1.13 (с) работает, когда точки А, В и С не лежат на одной прямой.

ЛЕКЦИЯ № 3

1.13. ПРИВЕДЕНИЕ СИСТЕМ ВЗАИМНО-ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ К ПОЛЮСУ; СЛУЧАЙ РАВНОВЕСИЯ

Н а тело могут воздействовать системы сил , линии действия которых параллельны друг другу. Такие системы сил называются взаимно-параллельными. Например, сила тяжести объемного или плоского тела состоит из составляющих (веса частей «i» тела), линии действия которых параллельны.

Направления сил, в общем случае, могут быть и противоположны друг другу, но ни как не скрещиваться или пересекаться. На рис. 1.26. изображена такая система сил; при этом одну из осей координат ориентируем параллельно силам .

Нетрудно видеть, что главный вектор таких систем будет также параллелен силам . При этом , т.к. и, и для его вычисления необходимо спроектировать все силы на ось параллельную силам , т.е.

Приведение к полюсу «С» по методу Пуансо дает нам «i» присоединенных пар, вектор-моменты которых перпендикулярны оси «ОZ» т.е. . Тогда, рассматривая только случай равновесия, как наиболее интересный и необходимый для решения задач на эту тему, приходим к выводу, что для пространственной системы взаимно-параллельных сил при = 0 и = 0 необходимо составлять 3 уравнения:

…………………1.12

Для плоской системы сил , допустим лежащей в плоскости «YZ» ,

Где и (согласно теореме Вариньона для плоских систем сил) следует составлять всего два уравнения:

или …………………1.13

В выражении 1.13.(в) линия АВ не должна быть параллельной силам , иначе получим 2 абсолютно одинаковых уравнения равновесия.

Таким образом, задачи на эту тему содержат для пространственных систем 3 неизвестных, для плоских систем - 2 неизвестных. Такие задачи широко распространены в машиностроении при расчете валов машин и в строительной механике. Ниже будет приведен пример решения подобной задачи.

1.14.ПОНЯТИЕ О МОМЕНТЕ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ОСИ. ЦЕНТР СИСТЕМЫ ВЗАИМНО-ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ И ЕГО КООРДИНАТЫ; КООРДИНАТЫ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ ТЕЛА

В ряде случаев тело может вращаться вокруг неподвижной оси ( шестерни, шкивы, приводные колеса, звездочки цепных передач и т.п.) под действием приложенных к ним сил и пар сил. Рассмотрим вариант воздействия силы , линия действия которой скрещивается с осью вращения в декартовом пространстве (см. рис. 1.27).

Здесь вектор-момент образовывает с осью «OZ» угол «α» и

M (F =+. При этом и

Представим последнее выражение в виде определителя:

,

раскрывая который по соответствующим строкам, получим 3 выражения для проекций на оси координат, которые и определят моменты силы F относительно этих осей.

…………………………1.14.

Если , то

Треугольник , есть проекция треугольника ОАВ на плоскость X O Y , перпендикулярную оси вращения тела, а именно оси OZ. Т.к. физически не может вращаться вокруг осей «О Х» и «О Y», то весь вращательный эффект силы F оценивается

Если и , то

и ТЕЛО НЕ ВРАЩАЕТСЯ. Такое возможно КОГДА ЛИНИЯ ДЕЙСТВИЯ СИЛЫ F ИЛИ ПЕРЕСЕКАЕТ ОСЬ ВРАЩЕНИЯ «OZ», ИЛИ ПАРАЛЛЕЛЬНА ЕЙ.

ПРАВИЛО ВЫЧИСЛЕНИЯ МОМЕНТА ЛЮБОЙ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ЛЮБОЙ ОСИ:

Необходимо спроектировать силу на плоскость (рис. 1.27 плоскость «XO Y ), перпендикулярную оси (рис. 1.27 «OZ»), а затем вычислить момент полученной проекции отнорсительно точки пересечения оси Ир плоскости , т.е.

Если спроектировать вектор на ось вращения тела с двумя закрепленными точками С и Д на этой оси (OZ), то

………………………………………..1.15.

Выражение 1.15 говорит о том, что момент силы относительно оси равен проекции вектор-момента этой силы относительно точки, лежащей на оси [ (.) O ] на эту ось ( ось OZ ).

1.15 ЦЕНТР СИСТЕМЫ ВЗАИМНО ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ И ЕГО КООРДИНАТЫ; КООРДИНАТЫ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ ТЕЛА, ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ И ОТРЕЗКА КРИВОЙ

На рис. 1.26 показана (.) С, где6 еприложен главный вектор системы . Определим его координаты, имея ввиду, что и

Тогда, раскрывая определитель имеем

Т.к. и имеем где

Т.к. , где , окончательно имеем, что

т.к.

Раскрывая определитель по всем строкам, имеем 3 выражения для оценки координат точки «С» - центра системы взаимно параллельных сил:

……1.16.

Пользуясь выражением 1.16 можно мысленно представить силу тяжести , состоящую из множества параллельных при этом - общая масса тела.

Т.к. , а и , то для оценки координат центра тяжести тела ( , , ) имеем как частное от выражения 1.16 следующее:

……………………………1.17.

Опять же мысленно представим себе плоское тело, например сечение строительного швеллера. Это сечение, допустим лежит в плоскости «XOY», тогда КООРДИНАТЫ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ произвольной формы определяется так:

……..1.17.

Представим отрезок любой кривой, например нити длиной , лежащей в плоскости «XOY», тогда, заменив в формулах 1.17 Р на l , найдем КООРДИНАТЫ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ ОТРЕЗКА КРИВОЙ:

……………….1.18.

ЛЕКЦИЯ № 4

1.17. ПРОИЗВОЛЬНАЯ ПРОСТРАНСТВЕННАЯ СИСТЕМА СИЛ; УСЛОВИЯ И УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ; ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

На аб. т. т. воздействует любое множество сил , произвольно расположенных в границах тела. В этом случае силы проектируются уже на все тори оси декартовой системы координат и главный вектор такой системы

Главный момент, согласно теоремы Вариньона, буде6т равен

Очевидно, если вспомнить аксиому статики № 1, то когда =0 и =0, тело находится в равновесии.

Таким образом условия равновесия данной системы сил следующие:

………………………………….1.19

Эти условия обеспечиваются следующим:, и и

, ,. Т.к. ; , то нетрудно отсюда получить 6 уравнений равновесия такой системы сил, а именно:

1.

2.

4.

5.

3.

Это наиболее трудные задачи статики; они содержат в себе до 6-ти неизвестных. Напомним, что если в задаче число неизвестных больше возможного числа уравнений равновесия, то такая задача называется СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОЙ и не решается до конца уравнениями статики.

Приведем примеры решения статически определимых задач на данную систему сил.

1.19. ТРЕНИЕ СКОЛЬЖЕНИЯ И ТРЕНИЕ КАЧЕНИЯ; ФОРМУЛА

ЭЙЛЕРА

При рассмотрении второй группы связей - связей с трением, где сила трения скольжения играет существенную роль, в классической механике руководствуются основными положениями законов Кулона, а именно:

1. Максимальное значение силы трения скольжения (это сила сопротивления скольжению одного тела по шероховатой поверхности другого, ВСЕГДА НАПРАВЛЕННАЯ В СТОРОНУ, ОБРАТНУЮ НАПРАВЛЕНИЮ ДВИЖЕН7ИЯ) пропорционально нормальному давлению; т.е. ………………………………….1.21 , где f -коэффициент трения скольжения.

2. Максимальное значение силы трения скольжения не зависит от площади соприкосающихся поверхностей.

Следует отметить, что эти положения справедливы для средних нормальных давлений , но существенно нарушаются при очень больших и очень малых .

Значение безразмерного коэффициента трения скольжения следующие: f =( 0 1,0); средние6 значения в районе f = 0,25 0,6.

Различают силу трения в покое и силу трения в движении ,

Которая иногда существенно меньше . Например, сани на полозьях труднее сдвинуть с места в начале движения, чем затем их двигать дальше.

Коэффициент трения в покое при этом несколько больше коэффициента трения в движении f и часто задачи на трение решаются с использованием выражения: ………………………1.22/.

Рассмотрим вопрос о движении тела при наличии силы трения на следующей схеме ( рис. 1.34).

Тело имеющее тенденцию сдвигаться вправо, о чем говорит вектор возможной скорости , удерживается силой трения в покое , часто называемой рядом авторов силой сцепления . Будем считать, что . Полная реакция шероховатой поверхности ; при этом . Тогда имеем следующее: …………………….1.23

Если поворачивать вокруг , то получается объемная пространственная фигура, называемая КОНУСОМ ТРЕНИЯ.

Этот конус обладает одним замечательным свойством, которое используется во многих конструкциях деталей машин, а именно: если сила , стремящаяся сдвинуть с места, находится внутри конуса трения, то вне зависимости от ее величины, тело невозможно будет сдвинуть с места. Так формулируется УСЛОВИЕ САМОТОРМОЖЕНИЯ. Докажем его.

На рис 1.35 (а) изображено тело, стоящее на шероховаптой плоскости. На тело действует активная сила , стремящаяся сдвинуть тело с места и образующая угол «α» с нормальной реакцией .

Рис. 1.35.

Разложим силу на две взаимно перпендикулярные составляющие и . Тогда вызовет появление , а вызовет появление силы нормального давления и полная реакция шероховатой поверхности . Будет образовывать с угол трения φ , для которого tg φ = f. Учтя закон Кулона ( и ) имеем в случае равновесия в осях «XOY» следующие уравнения равновесия:

Преобразуя эти уравнения имеем:

и . …………….1.24

Отсюда в предельном случае, когда сила лежит на поверхности конуса трения. Если же сила находится внутри конуса трения (),

то уменьшается и сдвигающая часть этой силы, т.е. и тело еще надежнее сцеплено с поверхностью и не движется. Таким образом условие самоторможения представляется выражением: α ≤ φ….1.25.

Видно в выражении 1.24 , что сила сократилась, т.е. не важна ее величина. Сила Q тогда может быть сколь угодно большой, а тело будет неподвижно. Это условие самоторможения является основой проектирования таких механических устройств как болтовые и винтовые соединения, домкраты и т.п., широко используемые в технике.

1.19. ТРЕНИЕ КАЧЕНИЯ, ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ

Сопротивление, возникающее при качении круглого тела по какой-либо, в том числе и шероховатой поверхности называют трением качения. Решая вопрос об оценке сопротивления качению приходится отойти от постулата об абсолютно твердом теле и решать задачу с учетом их РЕАЛЬНОЙ ДЕФОРМИРУЕМОСТИ под действием активных сил. На рис. 1.36 представлена расчетная схема.

Цилиндр весом и радиусом «r» перекатывается активной силой Q , приложенной на высоте h > r (при h < r возможно чистое скольжение цилиндра по шероховатой плоскости с коэффициентом трения «f»)

Составим уравнения равновесия для произвольной плоской системы сил с учетом трения. Для схемы рис. 1.36 (а) имеем:

Из уравнения (4) имеем Q=0 , но Q.!

Учтем реалии процесса перекатывания цилиндра, при которых, как показали экспериментальные исследования ряда ученых, происходит деформация поверхности как цилиндра так и контактирующей с ним поверхности. При этом зоной контакта становится не точка , а площадка со смещением центра тяжести эпюры нормальных давлений на величину «k» в сторону качения цилиндра. «K» - коэффициент трения качения (к = 0,1 0,001 см.) существенно меньший f (0 1,0), поэтому выгодно заменять трение скольжения на трение качения.

По схеме рис. 1.36 (в) имеем:

Из (4) имеем для случая равновесия цилиндра на плоскости и т.к. N = P из уравнения (3), то При этом k/h. Из этих соотношений следует, что равновесие цилиндра на плоскости возможно, когда , т.е. ……………..1.26

Для того, чтобы цилиндр еще и не скользил по плоскости, необходимо, чтобы

Q ≤ ………………..1.27.

Соблюдение одновременно условий 1.26 и 1.27 обеспечивает полное равновесие цилиндра на плоскости под действием активной силы ,т.е. он не скользит и не перекатывается.

Приведем несколько примеров решения задач на изложенные выше темы.

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВОПРОСЫ ПО СТАТИКЕ, традиционно включаемые в билеты по разделу «СТАТИКА»

1. Аксиомы статики.

2. Типы связей и их реакции.

3. Определение пары сил; вектор-момент пары сил.

4. Формулировки 4-х теорем теории пар сил.

5. Почему вектор-момент пары сил является вектором свободным?

6. Как определяется момент силы относительно точки и когда он равен нулю?

7. Как определяется момент силы относительно оси и когда он равен нулю?

8. Метод Пуансо и приведение произвольной плоской системы сил к полюсу.

9. Условия и уравнения равновесия произвольной плоской системы сил.

10. Теорема Вариньона для плоской системы сил

11. Условия и уравнения равновесия плоской системы взаимно параллельных сил.

12. Координаты центра системы взаимно параллельных сил и центра тяжести тела.

13. Трение скольжения. Законы Кулона и условие самоторможения.

14. Трение качения; коэффициент трения качения.

15. Трение гибких тел; формула Эйлера.

16. СОДЕРЖАНИЕ -45-

1. ВВЕДЕНИЕ …………………2

2. ЧАСТЬ I. СТАТИКА ……………… 3

ЛЕКЦИЯ № 1

1.1 АКСИОМЫ СТАТИКИ …………………3

1.2 СВЯЗИ И РЕАКЦИИ СВЯЗЕЙ …………………6

1.3 ДВА ТИПА ЗАДАЧ СТАТИКИ ………………..7

1.4 КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ СИЛ В СТАТИКЕ …………8

1.5 ПРОСТРАНСТВЕННАЯ И ПЛОСКАЯ СИСТЕМЫ СХОДЯЩИХСЯ СИЛ ………………..8

1.6 ТЕОРЕМА О 3-Х НЕПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛАХ……………9

1.7 ПЛОСКАЯ СИСТЕМА СХОДЯЩИХСЯ СИЛ. ТИПОВОЙ ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ. ЗАДАЧА № 2.8 И ДРУГИЕ …………

ЛЕКЦИЯ № 2

1.8. ПАРА СИЛ И ЕЕ СВОЙСТВА …………………10..

1.9. МОМЕНТ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ТОЧКИ ……… 11…

1.10. ПРИВЕДЕНИЕ ОДНОЙ СИЛЫ К ПОЛЮСУ; МЕТОД ПУАНСО

…………12

1.11. ПРИВЕДЕНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ПЛОСКОЙ СИСТЕМЫ СИЛ К ПОЛЮСУ; ВОЗМОЖНЫЕ СЛУЧАИ ПРИВЕДЕНИЯ. ТЕОРЕМА ВАРИНЬОНА И УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ …………13

1.12. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА ПРОИЗВОЛЬНУЮ ПЛОСКУЮ СИСТЕМУ СИЛ …………14

ЛЕКЦИЯ № 3

1.13. ПРИВЕДЕНИЕ СИСТЕМ ВЗАИМНО ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ К ПОЛЮСУ; СЛУЧАЙ РАВНОВЕСИЯ ……… 14

1.14. ПОНЯТИЕ О МОМЕНТЕ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ОСИ

ЦЕНТР СИСТЕМЫ ВЗАИМНО ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ И ЕГО КООРДИНАТЫ; 15 1.15 КООРДИНАТЫ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ ТЕЛА, ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ И ОТРЕЗКА КРИВОЙ ……….. 16 ЛЕКЦИЯ № 4 ………………………………………….19

1.17. ПРОИЗВОЛЬНАЯ ПРОСТРАНСТВЕННАЯ СИСТЕМА СИЛ; УСЛОВИЯ И УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ; ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ……………19.

1.18. ТРЕНИЕ СКОЛЬЖЕНИЯ И ТРЕНИЕ КАЧЕНИЯ …………20

2. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ СТАТИКИ …………..23 2.1. СХОДЯЩАЯСЯ СИСТЕМА СИЛ …………………… 23 2.2 ТЕОРИЯ ПАР СИЛ 232.3. ПРОИЗВОЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ СИЛ ………………..23 2.4. СИСТЕМЫ ВЗАИМНО-ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ И ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ …………………..24 2.5. ТРЕНИЕ СКОЛЬЖЕНИЯ;ТРЕНИЕ КАЧЕНИЯ 24 2.5. ПЛОСКАЯ СИСТЕМА СХОДЯЩИХСЯ СИЛ 25 2.5.1. ТИПОВОЙ ПЕРИМЕР РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ 2.6. ПРОИЗВОЛЬНАЯ ПЛОСКАЯ СИСТЕМА СИЛ ………31 2.6.1. ТИПОВОЙ ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ………..31 2.7. СИСТЕМЫ ВЗАИМНО-ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ И ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ …………..37 2.7.1. ТИПОВОЙ ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ НА ПЛОСКУЮ СИСТЕМУ ВЗАИМНО-ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ ……………37 2.8. ЗАДАЧА № 14 (9.4) НА ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ………………………………………………………………….38 2.9. ТРЕНИЕ СКОЛЬЖЕНИЯ; ТРЕНИЕ КАЧЕНИЯ ………………41 2.9.1. ТИПОВОЙ ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ………………41 2.10. ЗАДАЧА № 19 (ЗАДАЧА ТЕКСТИЛЬНОГО ПРОФИЛЯ) НА ФОРМУЛУ ЭЙЛЕРА ……………… 43 СОДЕРЖАНИЕ ……………… 45

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВОПРОСЫ, НАИБОЛЕЕ ЧАСТО ВКЛЮЧАЕМЫЕ В БИЛЕТЫ ПО РАЗДЕЛУ «СТАТИКА» …………..47 …………..

КАРТЫ ПРОГРАММИРОВАННОГО КОНТРОЛЯ