Министерство образования и науки РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное

учреждение высшего образования

«КРЫМСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ в.И. вЕРНАДСКОГО»

(фгаоу во «кфу им. В.И. ВЕРНАДСКОГО»)

«Бахчисарайский колледж строительства, архитектуры и дизайна».

Утверждаю

Директор Бахчисарайского колледжа строительства, архитектуры и дизайна (филиал) ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И. Вернадского»

_____________ Г.П. Пехарь

РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ

для самостоятельных расчетно-графических работ

по дисциплине ОП.02 Техническая механика,

часть 1 «Статика»

для обучающихся по специальности

08.02.01 Строительство и эксплуатация зданий и сооружений

студента группы С-_____

Бахчисарай 2015

Рассмотрено и одобрено на заседании методического совета,

протокол № ___ от «___»____ 2015 г.

Введено в действие

приказом директора

от «___» _________ 2015 г. № _____

Разработчик:

Мухамедова Л.М. Рабочая тетрадь для самостоятельных расчетно-графических работ по дисциплине ОП.02 Техническая механика, часть 1 «Статика» для обучающихся по специальности 08.02.01 - Строительство и эксплуатация зданий и сооружений. - Бахчисарай: БКСАиД (филиал) ФГАОУ КФУ «им. В.И. Вернадского», 2015. - 50с.

Рабочая тетрадь предназначена для формирования системных знаний, ритмичной самостоятельной работы на протяжении всего семестра обучающихся дневной формы обучения по специальности: 08.02.01 Строительство и эксплуатация зданий и сооружений. Методическое пособие относится к учебно-практическому блоку и состоит из методических рекомендаций по выполнению самостоятельных индивидуальных заданий, кроме того приведены краткие теоретические сведения, справочный материал, тексты заданий, имеющие все необходимые указания по содержанию и оформлению каждой работы, последовательность выполнения и оформления графической части заданий, приведены примеры решения типовых задач, а также предложены контрольные тестовые задания и вопросы для самопроверки усвоения материала.

Утверждено на заседании цикловой комиссии № 3

«____» _____________ 2015 г.

Протокол № ______

Председатель ЦК _______________ /Базарная Е.А./

Содержание

1. Вступление 4

2. Расчетно-графическая работа №1. Определение усилий в стержнях 5 простейшей стержневой конструкции от приложенной внешней нагрузки.

3. Методические указания к выполнению работы №1 6

4. Задание к расчетно-графической работе №1 (Схемы вариантов) 10

5. Пример выполнения расчетно-графической работы №1 12

6. Тестовые задания к теме №1 15

7. Расчетно-графическая работа №2. Определение опорных реакций 17

балки на двух опорах при действии вертикальных нагрузок

8. Методические указания к выполнению работы №2 18

9. Задание к расчетно-графической работе №2 (Схемы вариантов) 22

10. Пример выполнения расчетно-графической работы №2 25

11. Тестовые задания к теме №2 27

12. Расчетно-графическая работа №3. Определение положения центра 29 тяжести сечения, составленного из стандартных профилей прокатной стали

11. Методические указания к выполнению работы №3 31

12. Задание к расчетно-графической работе №3 (Схемы вариантов) 35

13. Пример выполнения расчетно-графической работы №3 38

14. Тестовые задания к теме №3 40

15. Вопросы для самопроверки. 42

16. Приложения. 43

17. Литература. 47

Вступление

Теоретическая механика является одной из важнейших дисциплин, изучаемых студентами СПО специальности 08.02.01 Строительство и эксплуатация зданий и сооружений в колледже. Одним из видов самостоятельной работы студентов при изучении теоретической механики является выполнение индивидуальных расчетно-графических работ, которые служат для закрепления и углубления знаний студентов, развития их навыков в решении практических задач, контроля знаний и умений по дисциплине.

Расчетно-графические работы составлены в соответствии с рабочей программой дисциплины и содержат три самостоятельных задания по основным темам теоретической механики.

Для организации и выполнения расчетно-графических работ в рабочей тетради приведены краткие теоретические сведения, тексты заданий, имеющие все необходимые указания по содержанию и оформлению каждой работы, последовательность выполнения и оформления графической части заданий, приведены примеры решения типовых задач и контрольные тесты по темам модулей дисциплины, знание которых учитывается при выставлении итоговой оценки знаний студентов. Номер варианта соответствует порядковому номеру студента в групповом журнале. Задачи выполняются аккуратно, сопровождаются краткими объяснениями производимых операций, ссылками на соответствующие законы и формулы.

Срок сдачи работы назначается в соответствии с графиком сдачи расчетно-графических работ. В рабочей тетради преподаватель делает замечания по работе, выставляет соответствующую оценку, проведя, в случае необходимости, дополнительный опрос. За каждую работу выставляется оценка. Предлагаемая методика дает возможность преподавателю организовать выполнение самостоятельных расчетно-графических работ студентов с минимальными затратами учебного времени, стимулирует регулярную самостоятельную работу студентов над изучаемым материалом и дает возможность накапливать, в течение семестра, оценки по дисциплине.

Расчетно-графическая работа №1. Вариант №__

Тема: Определение усилий в стержнях простейшей стержневой конструкции от приложенной внешней нагрузки.

Цель: Изучение условия равновесия плоской системы сходящихся сил, определение усилий в стержневых конструкциях аналитическим и геометрическим (графическим) способами.

Теоретические сведения:

Систему сил, линии, действия которых расположены в одной плоскости и пересекаются в одной точке, называют плоской системой сходящихся сил.

Необходимым и достаточным условием равновесия плоской системы сходящихся сил является равенство нулю равнодействующей этой системы сил. Это условие можно выразить двумя алгебраическими равенствами:

∑Хі=0; ∑Уі=0. (1)

Равенства (1) выражают условие равновесия плоской системы сходящихся сил в аналитической форме и их называют уравнениями равновесия плоской системы сходящихся сил. Таким образом, для равновесия плоской системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраические суммы проекций всех сил системы на координатные оси были равны нулю.

Условие равновесия плоской системы сходящихся сил в геометрической форме выражается в условии замкнутости многоугольника данных сил.

Преимущества аналитического способа проекций перед геометрическим способом построения силового многоугольника особенно заметны в задачах на равновесие системы более трех сил (решение силового многоугольника представляет известные трудности).

Задание: Определить величину и направление реакций связей от приложенной внешней нагрузки (реакции нити и стержня принято называть усилиями). Задачу решить аналитическим и геометрическим (графическим) способами. Данные для задачи своего варианта взять из таблицы 1 и схемы на рисунке 1.

К решению задачи можно приступить после изучения темы «Условие равновесия плоской системы сходящихся сил». Необходимо твердо усвоить три способа решения задач на равновесие плоской системы сходящихся сил: аналитический, геометрический и графический. Графическую часть работы выполнить карандашом на отдельном листе формата А-4, выбрать и указать на чертеже масштаб сил, лист снабдить рамкой на расстоянии 5 мм от края. Надписи выполнять чертежным шрифтом (см. пример выполнения задания).

Методические указания к решению задачи.

При решении задачи аналитическим способом рекомендуется придерживаться следующего порядка:

1. Выделить тело (или точку), равновесие которого следует рассмотреть.

2. Изобразить активные (заданные) силы, действующие на выделенное тело.

3. Освободить тело от наложенных на него связей, заменив их действие реакциями связей (усилиями), неизвестные усилия направить от узла, предположив, что стержни растянуты.

4. Выбрать положение прямоугольной системы координат. Начало координат совместить с точкой, равновесие которой будем рассматривать.

Координатные оси по возможности направлять по неизвестным силам, тогда проекция неизвестной силы на ось, перпендикулярную ей, окажется равной нулю. Благодаря этому, уменьшится число неизвестных в уравнении, равновесия, и решение его упростится.

5. Определить углы между усилиями и координатными осями, указать на чертеже.

6. Составить уравнения равновесия плоской системы сходящихся сил:

∑Хі=0; ∑Уі=0.

При проектировании силы на ось следует модуль силы умножать на косинус острого угла между линией действия силы и осью независимо от того, с каким направлением оси (положительным или отрицательным) он образован.

Полученное произведение имеет знак плюс, если проектируемая сила совпадает с положительным направлением оси, и знак минус - если не совпадает.

7. Решить составленные уравнения равновесия относительно искомых величин.

При решении задачи геометрическим (графическим) способом необходимо построить замкнутый силовой многоугольник (треугольник), построение которого начинают с заданных сил, а затем достраивают неизвестные силы.

8. Решить силовой многоугольник (определить неизвестные стороны, которые представляют собой неизвестные усилия в стержнях) или, если силовой многоугольник построен в масштабе, определить искомые силы по масштабу.

Ход работы

Аналитический способ решения.

Рассмотрим равновесие шарнира___. К нему приложена активная сила вес груза F. Отбросим связи и заменим действие связей их реакциями R₁ и R₂.

Направим искомые усилия от узла ___, тем самым предположив стержни растянутыми. Если же в результате решения то или иное из них получится отрицательным, то это значит, что предположенное направление усилия неправильное и, следовательно, усилие является сжимающим.

Для равновесия узла ___ должна равняться нулю алгебраическая сумма проекций всех приложенных к нему сил на любые две непараллельные оси.

Совместим начало координат с точкой ____, проведем ось Х по стержню _____, а ось У перпендикулярно ей.

Составим уравнения равновесия, для системы сходящихся сил в узле В:

∑Хі=0; ________________________________________________________

∑Уі=0.__________________________________________________

________________________________________________________________

________________________________________________________________

После подстановки числовых значений известных величин получим

________________________________________________________________

________________________________________________________________

R₁ = _____________________R₂ =________________________.

Геометрический (графический) способ решения.

Выбираем масштаб сил __________ и строим замкнутый силовой многоугольник (треугольник). Из произвольной точки а проводим отрезок

aв, параллельный и равный в принятом масштабе силе F, затем из точки а проводим прямую параллельно стержню _____, до взаимного пересечения с прямой, проведенной из точки в параллельно стержню ______. Полученный силовой треугольник замкнутый, следовательно, все стрелки в нем направлены в одну сторону по обходу силового треугольника. Направление обхода определяется направлением заданной силы F. Стороны этого треугольника ас и вс представляют собой величины и направления усилий R₁ и R₂ в стержнях конструкции соответственно. По масштабу определим R₁= ____________ и R₂=__________.Совершая обход треугольника в направлении силы F, замечаем, что полученные направления реакций стержней ____ совпадают с первоначально выбранными, следовательно стержень ____ растянут (сжат) , стержень ____ растянут (сжат).

Модули R₁ и R₂. можно также определить геометрически используя

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

Сравним результаты двух решений и вычислим в процентах относительную погрешность графического решения по формуле:

δ = │ Rгр - Rан │ х100% =

│ Rан │

Относительная погрешность не должна превышать 5%.

Вывод: _______________________________________________

______________________________________________________

______________________________________________________

Определение усилий в стержнях конструкции

Графический способ Масштаб сил:______________

Схемы вариантов. (Рисунок 1).

Пример решения задачи.

Тросом, перекинутым через блок А, поддерживаемый шарнирно-стержневой конструкцией ВАС, с постоянной скоростью поднимается груз G.

Определить усилия в стержнях АВ и АС конструкции, пренебрегая размерами блока и трением в нем. Дано: G= 2 кН. α=30◦, β =60◦, γ =45◦.

Аналитический способ решения.

Рассмотрим равновесие шарнира А. Мысленно вырежем узел А и изобразим его со всеми действующими на него известными и искомыми силами.

Искомые усилия R₁ и R₂ направим от узла А, предположив, что стержни растянуты. Для равновесия узла А должна равняться нулю алгебраическая сумма проекций всех приложенных к нему сил на любые две непараллельные оси. Совместим начало координат с точкой А, проведем ось Х по стержню АВ, а ось У перпендикулярно оси Х вдоль стержня АС.

Составим уравнения равновесия, для системы сходящихся в узле А сил.

∑Хі=0 ; G * cos 60◦ - R2 - F * cos 45◦ = 0 ; 2 * 0,5 - R2 - 2 * 0,707 = 0;

R2=- 0,414 кН.

∑Уі=0. - R1 -G * cos 30◦ - F * cos 45◦ = 0; - R1 -2 * 0,866 - 2 * 0,707= 0;

R1 = - 3,144 кН.

В результате решения искомые усилия R₁ и R₂ получились отрицательными, это значит, что предположенное направление усилий неверное и, следовательно, оба стержня работают на сжатие.

Геометрический (графический) способ решения:

Рассмотрим равновесие узла А, из четырех сил, действующих на узел А известны натяжение вертикальной ветви троса, равное весу груза G и направленное вертикально вниз и натяжение наклонной ветви троса, которое из-за отсутствия трения в блоке равно по абсолютной величине натяжению вертикальной ветви троса (G = F = 2 кН.). Для определения искомых усилий.

R₁ и R₂ выбираем масштаб сил µ = 0,5 кН./cм. и строим замкнутый силовой многоугольник сил. Из произвольной точки а проводим отрезок ав, параллельный и равный в принятом масштабе силе G, из точки в проводим отрезок вс, параллельный и равный второй известной силе F; затем из точки а проводим прямую, параллельно стержню АС, до взаимного пересечения с прямой, проведенной из точки с параллельно стержню АВ.

Полученный силовой многоугольник авсda замкнутый, следовательно все стрелки в нем должны идти в одну сторону по обходу силового многоугольника, причем направление этого обхода определяется направлением известных сил G и F. Стороны этого многоугольника cd и da дают величины и направления усилий R₁ и R₂ в стержнях АС и АВ соответственно. По масштабу находим, что R₁ = 3,145 кН и R₂ = 0,425 кН.

Совершая обход многоугольника, замечаем, что полученные направления усилий не совпадают с первоначально выбранными, следовательно, оба стержня сжимаются.

Модули усилий R₁ и R₂ можно определить также по теореме синусов:

Рассмотрим треугольник аве сторона се =√2* R₂;

По теореме синусов : (F -√2* R2) / sin 30◦ = G / sin 45◦ ;

(2 - 1,414 R₂) *0,707 = 2 * 0,5 ; R₂ = 1,414 - 1; R₂= 0,414 кН.

Из этого же треугольника запишем другое соотношение и определим R₁.

По теореме синусов: (R₁ - R₂) / sin 105◦ = G / sin 45◦;

R₁ - R₂ = 2,732; R₁= 2,732 + 0,414 = 3,146 кН.

Ответ: R₁ = 3,146 кН.

R₂ = 0,414 кН.

Контрольные тесты к работе 1.

Плоская система сходящихся сил

Вопросы

Ответы

Код

1.Определить проекцию равнодействующей на ось х

26, 54 кН

1

3, 87 кН

2

6, 28 кН

3

Верный ответ не приведен

4

2. Определить направление равнодействующей силы (αх ) по ее проекциям на оси х и у

FΣx = 25 H; FΣу = 9,9 H

14° 30'

1

64° 15'

2

21° 40'

3

Верный ответ не приведен

4

3. Сходящаяся система 4-х сил, действующих на балку, уравновешена F1у=16 H; F2у= - 46 H; F3у=36 H;

Σ Fkх = 0 Определить величину F4у

16 Н

1

- 6 Н

2

6 Н

3

1 Н

4

4. Груз F находится в равновесии. Указать, какой из силовых треугольников для шарнира В построен верно

1

2

3

4

5. Груз находится в равновесии. Указать, какая система уравнений равновесия верна в этом случае

1

2

3

Верный ответ не приведен

4

Плоская система сходящихся сил

Вопросы

Ответы

Код

6.Определить величину равнодействующей силы

39, 5 кН

1

44, 4 кН

2

19, 5 кН

3

Верный ответ не приведен

4

7.По известным проекциям на оси координат х и у определить угол наклона равнодействующей к оси 0х

FΣx = 15 кH; FΣу = 8, 66 кH

30°

1

20°

2

60°

3

75°

4

8. Какой вектор силового многоугольника является равнодействующей силой?

F2

1

F4

2

F5

3

F1

4

9. Груз F находится в равновесии. Указать, какой из треугольников для шарнира В построен верно

1

2

3

4

10 Груз F находится в равновесии. Указать, какая система уравнений равновесия верна в этом случае

1

2

3

Верный ответ не приведен

4

Расчетно-графическая работа №2. Вариант №__

Тема: определение опорных реакций балки на двух опорах при действии вертикальных нагрузок.

Цель: приобретение навыков по составлению уравнений равновесия произвольной плоской системы сил, определению аналитическим способом опорных реакций балок.

Теоретические сведения:

Условия равновесия произвольной плоской системы сил. Случай параллельных сил.

Для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись условия: R = 0, M₀ = 0.

Здесь О - любая точка плоскости.

Найдем вытекающие из равенств аналитические условия равновесия.

Величины R и М_о определяются равенствами:

где Но R может равняться нулю только тогда, когда одновременно R_x = 0 и R_y = 0. Следовательно, условия будут выполнены, если будет:

Полученные равенства выражают следующие аналитические условия равновесия: для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на каждую из двух координатных осей и сумма их моментов относительно любого центра, лежащего в плоскости действия сил, были равны нулю.

Теорема о трех моментах. Для равновесия плоской системы сил, действующих на твердое тело, необходимо и достаточно, чтобы суммы моментов этих сил системы относительно трех любых точек, расположенных в плоскости действия сил и не лежащих на одной прямой, были равны нулю.

; ;

Равновесие плоской системы параллельных сил.

В случае, когда все действующие на тело силы параллельны друг другу, мы можем направить ось Ох перпендикулярно к силам, а ось Оу параллельно им (см. рис.). Тогда проекция каждой из сил на Ox будет равна нулю и первое из 3-х равенств обратится в тождество вида 0 = 0. В результате для параллельных сил останется два условия равновесия:

Где ось О_у параллельна силам.

Статически определимые и статически неопределимые задачи.

Для любой плоской системы сил, действующей на твердое тело, имеется три независимых условия равновесия. Следовательно, для любой плоской системы сил из условий равновесия можно найти не более трех неизвестных.

В случае пространственной системы сил, действующих на твердое тело, имеется шесть независимых условий равновесия. Следовательно, для любой пространственной системы сил из условий равновесия можно найти не более шести неизвестных.

Задачи, в которых число неизвестных не больше числа независимых условий равновесия для данной системы сил, приложенных к твердому телу, называются статически определимыми.

В противном случае задачи статически неопределимы.

Задание: Определить реакции шарнирных опор А и В балки, находящейся под действием сосредоточенной силы F=_____кН, равномерно распределенной нагрузки с интенсивностью q=______кН/м и пары сил с

Моментом М=______кН.м; расстояния а=____м., в=______м., с=_____м.

Данные для задачи своего варианта взять на схеме вариантов (рисунок 2).

Методические указания к решению задачи

При решении рассмотренной задачи рекомендуется придерживаться следующего порядка решения задачи в виде алгоритма решения задач статики:

Составить силовую расчетную схему, выполнив следующее:

- выбрать объект рассмотрения (рассматриваем балку на двух опорах);

- отбросить все действующие на балку связи (опоры А и В);

- заменить отброшенные связи их реакциями;

- заменить распределенные нагрузки эквивалентными сосредоточенными силами;

- заменить пары сил их моментами.

Написать систему уравнений равновесия для составленной силовой схемы.

Решая полученную систему уравнений, найти неизвестные силы или опорные реакции.

Выполнить проверку правильности определения неизвестных опорных реакций.

Решение. Введем систему координат O_xy, совместив начало координат О с неподвижным шарниром А и направив ось O_x вдоль балки.

Для определения опорных реакций рассмотрим равновесие балки. К ней приложены активные силы: , пара сил с моментом М и равномерно распределенная нагрузка. Заменим распределенную нагрузку эквивалентной сосредоточенной , равной по модулю Q = q·__ =___кН и приложенной в средней точке нагруженного участка.

На балку наложены две связи: неподвижная шарнирная опора в точке А и подвижная шарнирная опора (каток) в точке В. Отбросим мысленно эти связи, заменив их соответствующими реакциями. Реакция _A неизвестна по величине и направлению, поэтому разложим её на две неизвестные по величине составляющие X_A, Y_A, направленные по координатным осям. Опора в точке В не препятствует её перемещению вдоль горизонтальной плоскости и, следовательно, реакцию _B следует направить перпендикулярно этой плоскости, то есть эта реакция известна по направлению, но неизвестна по величине.

Приведенные выше действия можно назвать составление эквивалентной силовой или расчетной схемы.

Таким образом, в задаче имеется три неизвестных скалярных величины: X_A, Y_A, R_в. Поскольку для произвольной плоской системы сил имеется три независимых уравнения равновесия, данная задача является статически определимой.

Поскольку на балку действует произвольная плоская система параллельных сил, поэтому горизонтальная составляющая неизвестной реакции в точке А - X_A будет равна нулю, а Y_A = R_А..

Заданная схема балки варианта № _______

Расчетная схема балки

Составим уравнения равновесия для полученной эквивалентной силовой схемы.

Эти уравнения равновесия записываются в рассматриваемой задаче следующим образом:

∑ тА (Fі)=0; __________________________________

∑тВ (Fі)=0; ___________________________________

Напомним, что алгебраические моменты сил берутся со знаком плюс, если они направлены по ходу часовой стрелки и со знаком минус, если они направлены против хода часовой стрелки.

Решая полученные уравнения равновесия определим неизвестные опорные реакции:

Если при решении задачи получены отрицательные значения опорных реакций, то это означает, что реакции связей направлены противоположно показанным на силовой схеме направлениям этих векторов.

Выполним проверку правильности решения задачи, для этого составим уравнение суммы проекций всех сил системы на ось У, подставим все найденные величины, если все члены левой части уравнения сократятся, то задача решена верно.

∑Уі =0;________________________________________

Ответ: Ra =_____кН.; Rb =_____кН.

Схемы вариантов (Рисунок 2)

Пример решения задачи № 2

Определить опорные реакции балки, изображенной на рисунке. Выполнить проверку решения.

Решение: Заменяем равномерно-распределенную нагрузку равнодействующей. На балку действуют нагрузки разной интенсивности, поэтому для каждой из них найдем равнодействующую:

Укажем расстояния от этих сил до каждой из опор.

Обозначим опоры А и В.

Укажем опорные реакции VА и VВ.

Составляем уравнения равновесия.

• Первое уравнение для нашей задачи примет вид:

М_А =0;

откуда

• Второе уравнение примет вид:

М_в = 0;

Выполним проверку, используя уравнение

Уi = 0, которое примет вид:

Таким образом реакции опор определены верно..

Ответ: VА = 67,9 кН, VВ = 37,1 кН.

Контрольные тесты к теме 2.

Произвольная плоская система сил.

Вопросы

Ответы

Код

1. Найти главный вектор системы сил

F1 = 3Н; F₂ = 4 Н; F₃ = 10 Н; α = 30°

5 кН

1

2,2 кН

2

7,3 кН

3

2,5 кН

4

2. Найти главный момент системы, если центр приведения находится в точке В

F1 = 2Н; F₂ = 4Н; F₃ = 6Н; F₄ = 4Н;

7,3 Н • м

1

1,3 Н • м

2

9 Н • м

3

3 Н • м

4

3. К брусу приложена уравновешенная система сил, две из которых неизвестны.

F1= 10 кН; F₂⁼ 5 кН. Найти Т₂

- 7,3 кН

1

5 кН

2

- 3,3 кН

3

10 кН

4

4. Определить алгебраическую сумму моментов сил относительно точки 0.

F1 = 6 кН; F₂ = 6 кН; F₃ = 6Н; т = 40 кН•м

8,8 кН • м

1

56,7 кН • м

2

103 кН • м

3

33,8 кН • м

4

5 Н • м

1

10 Н • м

2

19 Н • м

3

16 Н • м

4

Вопросы

Ответы

Код

6. . Найти главный вектор системы сил, если

F1= 6 Н; F₂ = 2 Н; F₃ = 3 Н; F₄ = 9 Н; F₅ = 2 Н.

Круг Ø= 1 м

8 Н

1

2 Н

2

0

3

6 Н

4

7. Определить алгебраическую сумму моментов системы сил относительно точки B F1= 5 Н; F₂ = 4 Н; F₃ = 16 Н; F₄ = 6 Н

11 Н • м

1

4 Н • м

2

3 Н • м

3

1 Н • м

4

8. Каким уравнением равновесия следует воспользоваться, чтобы сразу найти М_А,

Зная F; q; α

1

2

3

4

9. Определить алгебраическую сумму проекций сил на ось Оу

F =6 H, т = 5 Н • м, q =З Н/м

6 Н

1

10 Н

2

1 H

3

3 Н

4

10. Определить алгебраическую сумму моментов сил относительно точки В

т = 8 кН • м; F = 3 кН; q= 2 кН/м; β = 30º

36 кН • м

1

6 кН • м

2

30 кН • м

3

33 кН • м

4

Расчетно-графическая работа №3. Вариант №__

Тема: Определение положения центра тяжести сечения, составленного из стандартных профилей прокатной стали.

Цель: Овладеть методикой определения положения центра тяжести составного сечения.

Теоретические сведения:

Центр тяжести тел.

На все точки тела, находящегося вблизи поверхности Земли, действуют силы тяжести этих точек или их вес . Вообще эти силы будут сходящимися, линии действия их пересекаются в центре Земли. Но, если пренебречь размерами тела в сравнении с размерами Земли, то можно считать их параллельными.

Центр этих параллельных сил, сил тяжести точек, называется центром тяжести тела.

Значит, находить центр тяжести тел можно как центр параллельных сил. Например, координаты его

где - вес каждой точки тела, а - вес всего тела.

При определении центра тяжести полезны несколько теорем.

1) Если однородное тело имеет ось симметрии, то центр тяжести тела находится на этой оси.

Действительно, в этом случае, если ось z провести по оси симметрии, для каждой точки с координатами можно отыскать точку с координатами и координаты и , вычисленные по формулам для определения координат центра параллельных сил, окажутся равными нулю.

Аналогично доказывается и вторая теорема.

2) Если однородное тело имеет центр симметрии, то центр тяжести тела находится в этой точке.

3) Если тело состоит из однородных пластин одинаковой, малой толщины, то объём каждой пластины где - площадь пластины, d - толщина. И координаты центра тяжести будут определяться только с помощью площадей:

где - координаты центра тяжести отдельных пластин; - общая площадь тела.

Координаты центров тяжести однородных тел.

Центр тяжести однородного тела зависит только от его геометрической формы, поэтому если тело представляет собой однородную плоскую и тонкую пластину, то для неё

где S - площадь всей пластины, a - площади ее частей.

Точку, координаты которой определяются формулами, называют центром тяжести площади S.

Точно так же получаются формулы для координат центра тяжести линии:

где L - длина всей линии, l - длины ее частей.

Таким образом, центр тяжести однородного тела определяется, как центр тяжести соответствующего объема, площади или линии.

Способы определения координат центра тяжести.

Исходя из полученных выше общих формул, можно указать конкретные способы определения координат центров тяжести тел.

1. Симметрия. Если однородное тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то его центр тяжести лежит соответственно в плоскости симметрии, оси симметрии или в центре симметрии.

2. Разбиение. Тело разбивается на конечное число частей, для каждой из которых положение центра тяжести и площадь известны.

.

Задание: Определить координаты центра тяжести плоского сечения, составленного из стандартных профилей прокатной стали. Данные для своего варианта взять на схеме вариантов (рисунок 3).

Методические указания к решению задачи.

При решении задачи рекомендуется придерживаться следующего порядка определения положения центра тяжести сечения.

1. Разбиваем сечение на простые фигуры. В задачах для самостоятельной работы такими фигурами являются стандартные профили проката, размеры которых определяем из таблиц ГОСТ прокатной стали (см. приложения). Обычно обозначают профили прокатной стали, образующие сечение, цифрами 1, 2, 3.

2. Указываем центры тяжести каждого профиля (фигуры) и обозначаем их С₁, С₂ … С_n используя таблицы ГОСТов. (см. приложение).

3. Выбираем систему координатных осей. В задачах для самостоятельной работы все сечения имеют одну ось симметрии, поэтому рекомендуется одну из координатных осей совмещать с ней. Вторую ось координат направляют перпендикулярно к первой так, чтобы она пересекала центры тяжести одной или большого числа фигур. При этом начало координат может совпадать с центром тяжести одной из фигур или не совпадать с ним. Вторую ось можно направить так, чтобы она прошла через нижнюю (крайнюю) точку сечения. В первом случае вычисления окажутся более простыми.

4. Выписываем формулы для определения координат центра тяжести сечения:

Пользуясь таблицами ГОСТов, определяем площади профилей проката А₁, А₂ … А_n, координаты их центров тяжести х₁, х₂ … х_n, и y₁, y₂ … y_n относительно выбранных осей координат. Количество слагаемых в числителе и знаменателе формул зависит от числа профилей, из которых состоит сечение. Полученные величины подставляют в формулу и находят X_c и Y_c.

Следует помнить, что, если координатная ось х совмещена с осью симметрии, то координата Y_c = 0, а если ось у совмещена с осью симметрии, то X_c = 0.

5. Указывают положение центра тяжести на рисунке, придерживаясь определенного масштаба, и показывают расстояние от центра тяжести до координатных осей.

6. Выполняют проверку правильности решения, для чего можно изменить положение координатных осей (или одной оси) и найти координаты центра тяжести относительно новых осей. Положение центра тяжести не зависит от того, как выбрана система координатных осей.

Решение: Из теории известно, что номер профиля проката соответствует наибольшему габаритному размеру его сечения, выраженного в сантиметрах.

Заданное сечение составлено из _________________________________

__________________________ и представляет собой фигуру, симметричную относительно оси ____, следовательно, центр тяжести сечения лежит на этой оси, т.е. ______= 0. Координаты центра тяжести всего сечения определяем по формулам:

Х_с = ∑ Аi * Хi / А; Y_c = ∑ Аi * Уi / А, (1)

где А_і - площадь сечения элементарного профиля проката;

Х_і; У_і - координаты центров тяжестей элементарных профилей проката;

А - площадь всего сечения.

Чтобы воспользоваться этими формулами, площадь сечения делим на отдельные элементарные профили проката, положения центров тяжести которых известны.

В данном случае такими частями являются: _______________________

__________________________________________________________________

Определим площади и координаты центров тяжести заданных профилей проката по справочнику (таблицы сортамента прокатной стали в приложении):

Наименование профиля

Площадь сечения, см²

Координаты центра тяжести, см

А1 =

Х1=

У1=

А2 =

Х2=

У2=

А3 =

Х3=

У3=

А4 =

Х4 =

У4=

По формулам (1) вычисляем координаты центра тяжести всего сечения:

Хс = ∑ Аi * Хi / А = ______________________________________________

Yc = ∑ Аi * Уi / А =_______________________________________________

Выполним проверку правильности решения, для этого изменим положение координатных осей: ось ________ перенесем в положение _________ и определим координаты центра тяжести сечения относительно новых осей.

Хс1 = ∑ Аi * Хi / А = ______________________________________________

________________________________________________________________

Yc1 = ∑ Аi * У = _________________________________________________

________________________________________________________________

Ответ ___________________________________________________________

Схема варианта № _____

Схемы вариантов (Рисунок 3)

Пример решения задачи.

Задача 1. Определить положение центра тяжести фигуры, состоящей из стандартных профилей проката и полосы 120 х 10 мм.

1. Разбиваем сечение на три части: I - полоса, II - двутавр и III - швеллер.

2. Находим площади каждой части, выражая их в см². Площадь полосы определяем путем перемножения двух данных размеров, а площади двутавра и швеллера - по таблицам из ГОСТа.(см.приложение).

Наименование профиля

Площадь сечения, см²

Координаты центра тяжести, см

Полоса

А1 = 12

Х1=0

У1= - 6,5

Двутавр № 12

А2 = 14,7

Х2=0

У2= 0

Швеллер №14

А3 = 15,7

Х3=0

У3= 7,66

А = 42,4

3. Данное сечение имеет вертикальную ось симметрии. Совместим с этой осью ось у, а ось х проведем через середину двутавра через точку С₂ - центр тяжести его сечения. Центр тяжести сечения полосы С₁ расположен ниже точки С₂, принятой в данном случае за начало координат, на расстоянии
y₁= -(h/2 + 0,5) = -6,5 см.

Центр тяжести швеллера С₃ находим при помощи тех же таблиц из ГОСТа. Положение центра тяжести швеллеров в таблицах обозначено одной координатой z₀; для швеллера № 14 z₀=1,66 см, следовательно,

y₃= h/2 + z₀ = 7,66 см.

Таким образом,

А₁ =12см²;C₁(0;-6,5);
А₂ =14,7см²;C₂(0;0);
А₃ = 15,7 см²; C₃(0; 7,66).

4. Подставляем эти значения в расчетную формулу для ординаты y_c:

y_c = (-12*6,5+14,7*0+15,7*7,66)/(12+14,7+15,7) = 42,3/42,4 = 1,0 см.

В выбранных осях положения центра тяжести сечения выражены координатами С₀ (0; 1).

Это значит, что центр тяжести сечения находится от его нижнего края (от точки А) на расстоянии AC₀=8 см.

Для проверки правильности определения y_c перенесем начало координат в точку А, ось Х проведем горизонтально, по нижнему краю сечения, ось У перпендикулярно оси Х вверх. Тогда координаты центра тяжести заданного сечения будут: Хс=0 (ввиду симметрии);

Ус = (12*0,5 + 14,7*6,5 + 15,7*14,66) / 42,4 = 8 см.

Центр тяжести сечения находится от его нижнего края (от точки А)

на расстоянии AC₀=8 см.

Ответ: Хс = 0; Ус = 8 см. от точки А.

Контрольные тесты к теме № 3

Центр тяжести тела

Контрольные вопросы для проверки усвоения материала.

1. Дайте определение абсолютно твердого тела и материальной точки.

2. Что такое сила? Охарактеризуйте эту физическую величину и единицу ее измерения в системе СИ.

3. Перечислите и охарактеризуйте основные аксиомы статики.

4. Что такое "эквивалентная", "равнодействующая" и "уравновешивающая" система сил?

5. Теорема о равновесии плоской системы трех непараллельных сил.

6. В чем разница между активными силами (нагрузками) и реактивными силами (реакциями)? Перечислите и охарактеризуйте наиболее распространенные виды связей между несвободными телами.

7. В чем разница между распределенной и сосредоточенной нагрузкой? Что такое "интенсивность" плоской системы распределенных сил и в каких единицах она измеряется?

8. Сформулируйте принцип отвердевания и поясните его сущность.

9. Что такое "плоская система сходящихся сил"? Определение равнодействующей плоской системы сил геометрическим и графическим методом.

10. Сформулируйте условия равновесия плоской системы произвольно расположенных сил.

11. Что такое момент силы относительно точки и в каких единицах (в системе СИ) он измеряется? Что такое момент пары сил и какие пары сил считаются эквивалентными?

12. Сформулируйте основные свойства пары сил.

13. Сформулируйте теорему о сложении пар сил. Сформулируйте условие равновесия плоской системы пар.

14. Сформулируйте теорему о параллельном переносе силы.

15. Сформулируйте теорему о приведении системы произвольно расположенных сил к данному центру. Что такое главный момент плоской системы произвольно расположенных сил?

16. Перечислите свойства главного вектора и главного момента системы произвольно расположенных сил.

17. Сформулируйте теорему о моменте равнодействующей системы сил (теорема Вариньона).

18. Сформулируйте условия равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил.

19. Дайте определение центра тяжести тела и опишите основные методы его нахождения.

Сталь прокатная угловая равнополочная.

Литература

1. Олофинская В.П. Техническая механика - курс лекций с вариантами практических и тестовых заданий. - М.: Инфра, 2007.

2. Олофинская В.П. Техническая механика - Сборник тестовых заданий. - М: Инфра - М., 2001.

3. Портаев Л.П. Техническая механика. - М.: Стройиздат, 1987.

4. Сетков В.И. Сборник задач для расчетно-графических работ по технической механике. - М.: Стройиздат, 2003.

5. Сетков В.И. Сборник задач по технической механике. - М.: Академия, 2007.

6. Сетков В.И. Техническая механика для строительных специальностей. - М.: Академия, 2008.

Дополнительные источники:

1. Эрдеди А.А., Эрдеди Н.А. Теоретическая механика. - М.: Высшая школа, 2002.

2. Михайлов А.М. Сопротивление материалов. - М.: Высшая школа, 1989.

3. Никитин Е.М. Краткий курс теоретической механики для ВТУЗов. - М.: Наука, 1971.

4. Яблонский А.А. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике, учебное пособие. - М.: Высшая школа, 1985.

5. СНиП II-23-81* Стальные конструкции. Нормы проектирования. - М.: Минстрой РФ, 2001.

6. ГОСТ 8240-89 Сталь горячекатаная. Швеллеры.

7. ГОСТ 8239-89 Сталь горячекатаная. Балки двутавровые.

8. ГОСТ 8509-86 Сталь прокатная угловая равнополочная.

9. ГОСТ 8510-86 Сталь прокатная угловая неравнополочная.