КРУЧЕНИЕ

Последовательность решения задачи

1. Определить внешние скручивающие моменты по формуле

М= Р/ω

где Р - мощность,

ω - угловая скорость.

2. Так как при равномерном вращении вала алгебраическая сумма приложенных к нему внешних скручивающих (вращающих) моментов равна нулю определить уравновешивающий момент, используя уравнение равновесия

∑ М _{i z} = 0

3. Пользуясь методом сечений, построить эпюру крутящих моментов по длине вала.

4. Для участка вала, в котором возникает наибольший крутящий момент, определить диаметр вала круглого или кольцевого сечения из условия прочности и жесткости. Для кольцевого сечения вала принять соотношение диаметров

где d_о- внутренний диаметр кольца;

d - наружный диаметр кольца.

Из условия прочности:

Из условия жесткости:

где M_zmax - наибольший крутящий момент;

W_p - полярный момент сопротивления кручению;

[τ_кр] - допускаемое касательное напряжение

где J_p - полярный момент инерции сечения;

G - модуль упругости при сдвиге;

[φ_о] - допускаемый угол закручивания сечении

Сечение вала - круг

Необходимый по прочности диаметр вала:

Необходимый по жесткости диаметр вала:

Сечение вала - кольцо

Необходимый по прочности наружный диаметр кольца:

Необходимый по жесткости наружный диаметр кольца:

Пример 1. Для стального вала (рис.1) постоянного по длине сечения требуется: 1) определить значения моментов М₂ и М₃, соответствующие передаваемым мощностям Р₂ и Р₃, а также уравновешивающий момент М₁; 2) построить эпюру крутящих моментов; 3) определить требуемый диаметр вала из расчетов на прочность и жесткость, полагая по варианту (а) поперечное сечение вала - круг; по варианту (б) - поперечное сечение вала - кольцо, имеющее соотношение диаметров c=d₀ / d=0,8.

Принять: [τ_кр] = 30 МПа; [φ₀] = 0,02 рад/м; Р₂ = 52 кВт; Р₃ = 50 кВт; ω = 20 рад/с; G = 810⁴ МПа

Окончательное значение диаметра округлить до ближайшего четного (или оканчивающегося на пять) числа.

Рис. 1 - Схема задачи

Решение:

1. Определяем внешние скручивающие моменты:

М₂ = Р₂ / ω = 5210³ / 20 = 2600 Нм

М₃ = Р₃ / ω = 5010³ / 20 = 2500 Нм

2. Определяем уравновешивающий момент М₁:

∑ М _{i z} = 0; М₁ - М₂ - М₃=0

М₁= М₂ + М₃ = 5100 Нм

3. Определяем крутящий момент по участкам вала:

М z_I = М₁= 5100 Нм

М z_II = М₁ - М₂ = 5100 - 2600 = 2500 Нм

Строим эпюру крутящих моментов Мz (рис. 2).

Рис. 2 - Эпюра крутящих моментов

4. Определяем диаметр вала из условий прочности и жесткости, принимая М _{z max} = 5100 Нм (рис. 2).

а) Сечение вала - круг.

Из условия прочности:

Принимаем d = 96 мм

Из условия жесткости:

Принимаем d = 76 мм

Требуемый диаметр получился больше из расчета на прочность, поэтому его принимаем как окончательный d = 96 мм.

б) Сечение вала - кольцо.

Из условия прочности:

Принимаем d = 114 мм

Из условия жесткости:

Принимаем d = 86 мм

Требуемые диаметры окончательно принимаем из расчетов на прочность:

Наружный диаметр кольца d = 114 мм

Внутренний диаметр кольца d_о = 0,8d = 0,8  114 = 91,2 мм. Принимаем d_о =92 мм.

Задача 1. Для стального вала (рис.3) постоянного поперечного сечения требуется: 1) определить значения моментов М₁ , М₂ , М₃ и М₄ ; 2) построить эпюру крутящих моментов; 3) определить диаметр вала из расчетов на прочность и жесткость, полагая по варианту (а) поперечное сечение вала - круг; по варианту (б) - поперечное сечение вала - кольцо, имеющее соотношение диаметров c=d₀ / d=0,7. Мощность на зубчатых колесах принять Р₂ = 0,5Р₁; Р₃ = 0,3Р₁; Р₄ = 0,2Р₁.

Принять: [τ_кр] = 30 МПа; [φ₀] = 0,02 рад/м; G = 810⁴ МПа

Окончательное значение диаметра округлить до ближайшего четного (или оканчивающегося на пять) числа.

Данные своего варианта взять из таблицы 1

Указание. Полученное расчётное значение диаметра (в мм) округлить до ближайшего большего числа, оканчивающегося на 0, 2, 5, 8.

Таблица 1 - Исходные данные

Номер схемы на рисунке 3.2.5



Р₁

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Варианты

рад/с

кВт

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

48

18

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

60

30

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

25

60

Рис. 3 - Схема задачи