Конспект урока по теме «Решение показательных уравнений» (11 класс)

Конспект 2-х часового урока

обобщающего повторения в 11 классе

по алгебре и началам анализа по теме:

«Решение показательных уравнений»

Минасян Людмила Григорьевна

МБОУ СОШ № 2

г. Горячий Ключ.

Тема урока: Решение показательных уравнений.

Цели урока:

1. Обобщить теоретические знания по темам: «Показательная функция и ее свойства» и «Решение показательных уравнений»;

2. Рассмотреть решение задач, связанных с темой, базового и повышенного уровня сложности;

3. Организовать работу учащихся по указанным темам на уровне, соответствующем уровню уже сформированных у них знаний и возбудить интерес к решению показательных уравнений повышенного уровня сложности.

Оборудование: интерактивная доска, раздаточный материал.

I этап урока ─ организационный (2 минуты).

На интерактивной доске написана тема урока (слайд 1).

В начале урока учащихся рассадили в соответствии с тремя уровнями подготовки на определенные ряды.

Учитель сообщает тему урока и цели, а также поясняет, что во время урока постепенно будет использован раздаточный материал, который находится на партах.

II этап урока (18 минут).

Повторение теоретического материала по теме: «Показательная функция и ее свойства».

Учитель: Сегодня на уроке мы вспомним свойства показательной функции, ее графики и рассмотрим методы решения показательных уравнений. И я очень надеюсь, что вы проявите интерес к этой теме. Давайте вспомним, какую функцию называют показательной?

Ученик: Функцию вида , где , называют показательной функцией.

Учитель: Такое название объясняется тем, что ее аргументом является показатель степени.

На доске (слайд 2) записаны различные функции:

а) у = 2^х; б) у = х²; в) у = (- 3)^х; г) у = ()^х; д) у =х; е) у = π^х; ж) у = 3^-х; з) у = (х - 2)³.

Учитель: Какие из функций являются показательными?

Ученики по очереди отвечают:

а) у = 2^х; г) у = ()^х ; е) у =( π)^х, ж) у = 3^-х.

На доске появляются графики (слайд3).

Учитель просит перечислить основные свойства показательной функции.

Учащиеся по очереди отвечают:

Свойство 1. Областью определения показательной функции является множество R всех действительных чисел.

Свойство 2. Множеством значений показательной функции является множество положительных чисел.

Свойство 3. Показательная функция является возрастающей, если , а если , то функция является убывающей.

Учитель просит показать график возрастающей функции и привести пример.

Ученик: Это первый график и записывает под графиком: , например . А второй график ─ это график убывающей функции, и записывает под графиком

, например .

На доске появляются различные показательные функции (слайд 4).

Учитель: Какие из функций являются возрастающими, а какие убывающими?

1) 2) 3) 4)

5) 6) 7) .

Отвечают учащиеся среднего уровня подготовки:

Один из учеников перечисляет все возрастающие функции: 1), 3), 6), а другой ученик перечисляет убывающие функции: 2), 4), 5), 7).

Учитель предлагает учащимся взять листы под № 1, которые лежат на партах.

I вариант (для учащихся со слабым уровнем подготовки)

1. На рисунке изображен график одной из функций. Укажите номер этой функции.

Верный ответ: 3)

2.Укажите множество значений функции .

1) (0; ∞) 2) (-∞;+∞) 3) (1;+∞) 4) (-∞; 1).

Верный ответ: 3) (1;+∞).

3.Укажите функцию, возрастающую на всей области определения

1) 2) 3) 4)

Верный ответ: 1)

II вариант (для учащихся со средним уровнем подготовки).

1. На одном из рисунков изображен график функции . Укажите его.

Верный ответ: 3)

2. Какое из следующих чисел не входит во множество значений функции ?

1) 1,5 2) 2,5 3) 3,5 4) 4,5.

Верный ответ: 4) 4,5

3. Укажите функцию, убывающую на всей области определения

1) 2) 3) 4)

Верный ответ: 3)

III вариант (для хорошо подготовленных учащихся).

1). Для каждой функции, заданной формулой, укажите ее график.

1) у = а+1

2) у = а

3) у = -а

4) у = а.

а>1

0<а<1

а>1

0<а<1

Верный ответ:

1) формула − 2-й график,

2) формула − 1-й график,

3) формула − 4-й график,

4) формула − 3-й график.

2.Укажите множество значений функции .

1) (0;+∞) 2) (1;+∞) 3) [1;+∞) 4) [0;+∞).

Верный ответ: 3) [1;+∞).

3. Укажите функцию, убывающую на всей области определения

1) 2) у = 3^1+х 3) у = 4) у = (0,4)^3+х

Верный ответ: 4) у = (0,4)^3+х.

Через 5 минут слабые учащиеся передают свои листы на проверку средним учащимся.

II вариант и III вариант с верными ответами (слайд 5) высвечивается на интерактивной доске, учащиеся сверяют ответы и отмечают в своих листах количество правильных ответов.

III этап урока (25 минут).

Изложение теоретического материала по теме: «Решение показательных уравнений»

Учитель: При решении показательных уравнений используют два основных метода:

1. переход от уравнения а^ƒ(х) = а^g(х)к уравнению ƒ(х) = g(х),

2. введение новых переменных.

В процессе решения сложного уравнения нам приходится шаг за шагом заменять его более простым уравнением. В конце концов, мы получаем достаточно простое уравнение и находим его корни. В этот момент и возникает главный вопрос: совпадает ли множество корней последнего уравнения с множеством корней исходного уравнения?

Если все преобразования были равносильными, то есть каждое последующее уравнение было равносильно предыдущему, то ответ на поставленный вопрос положителен, если же равносильность хоть в каком-то шаге нарушалась, то возможно и потеряли корни или получили посторонние.

На интерактивной доске появляются следующие определения и примеры ( слайд 6).

Определение 1. Два уравнения с одной переменной ƒ(х) = g(х) и р(х) = q(х) называются равносильными, если множества их корней совпадают.

Учитель: Иными словами, два уравнения называют равносильными, если они имеют одинаковые корни. Например: 4х - 3 = 2х + 3 и 2х = 6

(х - 2)(х + 5) = 0 и х² + 3х - 10 = 0.

Или если они оба не имеют корней. Например: = 0 и х² - 5х + 10 = 0.

Определение 2. Если каждый корень уравнения ƒ(х) = g(х) является в то же время корнем уравнения р(х) = q(х), то второе уравнение называют следствием первого.

Например, уравнение (х - 2)(х + 4) = 0 является следствием уравнения = 0, в то же время уравнение (х - 2) = 0 не является следствием уравнения

(х + 5)(х - 2) = (х + 5).

Определение 3. Два уравнения равносильны тогда и только тогда, когда каждое из них является следствием другого.

Определение 4. Областью допустимых значений уравнения ƒ(х) = g(х) называют множество тех значений переменной х, при которых одновременно имеют смысл выражения ƒ(х) и g(х).

Далее учитель добивается, чтобы учащиеся сделали выводы, и корректирует их ответы:

• если решение некоторого уравнения мы все время переходим к равносильному уравнению или осуществляем преобразования и отбор корней по ходу решения с учетом ОДЗ, то в итоге получим корни исходного уравнения, которые в проверке не нуждаются;

• если же при решении уравнения мы на каком-либо шаге получаем уравнение- следствие и/или осуществляем преобразования без учета ОДЗ, то в конце решения необходимо сделать проверку полученных корней.

Учитель: Какое уравнение называется простейшим показательным уравнением?

Ученик: Уравнение вида а , где , называется показательным уравнением.

Учитель просит привести пример такого уравнения.

К доске выходит слабый ученик и записывает: 3^х = 81, 3^х = 3⁴, х = 4.

Учитель напоминает, что в качестве аргумента может выступать функция ƒ(х), тогда уравнение вида а^ƒ(х) = а^g(х), где а >0, а1, равносильно уравнению ƒ(х) = g(х).

Учитель приглашает учащегося со средней подготовкой к доске и предлагает решить уравнение № 1:

2 = 2.

Решение: 2 = 2,

х² - 5х + 6 = 0, х₁ = 3, х₂ = 2.

Корни последнего уравнения являются корнями исходного уравнения.

Учитель: Нужно ли делать проверку?

Ученик: Нет, так как при решении был совершен равносильный переход.

Учитель вызывает к доске трех учащихся (слабого, среднего и сильного) и предлагает решить уравнения, которые записывает сам:

I

Решение:

Ответ: 2.

II

Решение:

Ответ: 2.

III

Учащиеся хорошо справляются с первыми двумя уравнениями.

А третье нестандартное уравнение вызвало некоторое затруднение.

Поэтому учитель помогает его решить.

Решение III уравнения: 3= 5^2х.

Так как 5 = 3^log, то данное уравнение можно преобразовать к виду

3 = (3^log)^2х.

Это уравнение равносильно следующему: х² - 4 = 2хlog.

Корни квадратного уравнения х² - 2хlog - 4 = 0 таковы:

Следовательно, корни исходного уравнения эти же.

Ответ:

Следующее уравнение № 2 вида: учитель объясняет для всех учащихся.

Учитель обращает внимание на то, что в этом уравнении основание 3 одинаково в каждом из слагаемых, а показатели степени разные.

Учитель: Назовите степень с меньшим показателем.

Ученик: .

Учитель: Нужно вынести за скобки.

К доске выходит ученик с хорошей математической подготовкой и показывает решение этого уравнения.

Решение:

Ответ: -2.

Учитель: Существуют и другие виды показательных уравнений, например, показательные уравнения, которые решаются методом введения новых переменных.

К доске выходит ученик (он заранее подготовил решение) и показывает решение уравнения:

4^х + 2^х+1 - 24 = 0.

Так как 4^х =(2^х)² и 2^х+1 = 2∙2^х, то данное уравнение перепишем в виде:

(2^х)² + 2∙2^х - 24 = 0.

Обозначим : 2^х = t, где t >0, получим уравнение t² + 2t - 24 = 0, корни которого

t₁ = -6 и t₂ = 4.

Поэтому задача сводится к решению двух уравнений: 2^х = 4 и 2^х = - 6.

Из первого уравнения х = 2, второе уравнение не имеет решения, так как 2^х > 0 при любых х.

Ответ: 2.

Учитель предлагает учащимся двух групп по два уравнения решить самостоятельно (слайд 7).

I Вариант II Вариант

а) 2∙3^х+1 - 3^х = 15 а) 2^х+1 + 2^х-1 + 2^х = 28

б) 9^х - 8∙3^х - 9 = 0 б) 8∙4^х - 6∙2^х + 1 = 0

По одному ученику из этих групп решают эти же уравнения на дополнительной доске, чтобы затем учащиеся смогли проверить свои ответы.

Решение.

I Вариант а) 2∙3^х+1 - 3^х = 15, II Вариант а) 2^х+1 + 2^х-1 + 2^х = 28,

3^х(2∙3 - 1) = 15, 2^х-1(2² + 1 + 2) = 28,

3^х∙5 = 15, 2^х-1∙7 = 28,

3^х = 3, х = 1. 2^х-1 = 4,

Ответ: 1. 2^х-1 = 2², х - 1 = 2, х = 3.

Ответ: 3.

б) 9^х - 8∙3^х - 9 = 0, б) 8∙4^х - 6∙2^х + 1 = 0,

(3^х)² - 8∙3^х -9 = 0, 8∙(2^х)² - 6∙2^х + 1 = 0,

Обозначим 3^х = t, где t >0, тогда Обозначим 2^х = t, где t >0, тогда

t² - 8t - 9 = 0, 8 t² - 6t + 1 = 0,

t₁ = 9, t₂ = -1, t₁ =, t_{2 =}

Возвращаемся к замене: Возвращаемся к замене:

3^х = 9, х = 2, 2^х = , х = -1,

3^х = -1, корней нет. 2^х = , х = -2.

Ответ: 2. Ответ: -1, -2.

Пока учащиеся заняты решением уравнений, учитель обращает внимание сильной группы учащихся на то, что существуют уравнение ƒ(х)^g(х) = ƒ(х)^h(х), которые называются «показательно-степенные уравнения».

Если ƒ(х) >0 и ƒ(х) , то это уравнение, как и показательное, решается с помощью приравнивания показателей: g(х) = h(х).

Если условием не исключается возможность ƒ(х) ≤ 0 или ƒ(х) = 1, приходится рассматривать несколько случаев.

(х² + х - 57) = (х² + х - 57)

Решение: При решении данного показательно-степенного уравнения нужно рассмотреть 4 случая:

1) (х² + х - 57) = 1, т.е. х² + х -58 = 0.

В этом случае уравнение примет вид: 1 = 1, т.е. 1 = 1.

Значит корни уравнения х² + х -58 = 0. являются корнями уравнения исходного.

Находим корни х_1,2 = .

2) х² + х - 57 = -1, х² + х - 56 = 0.

В этом случае уравнение примет вид: ( - 1) = ( -1)^10х.

Этому уравнению могут удовлетворять только такие значения х, при которых

3х² + 3 и 10х целые числа ( поскольку отрицательное число (-1) можно возвести лишь в целую степень) одинаковой четности ( т.е. либо оба четные, либо нечетные).

Из уравнения х² + х - 56 = 0 находим: х₁ = -8, х₂ = 7.

Значение х₁ = -8 не удовлетворяет уравнению ( - 1) = ( -1)^10х.

Значит х = 7 корень исходного уравнения.

3) Если х² + х - 57 = 0, то в этом случае уравнение примет вид: 0 = 0.

Этому уравнению могут удовлетворять только такие значения х, при которых

3х² + 3 > 0 и 10х > 0.

Напомним, что выражение 0^r имеет смысл только при r > 0.

Из уравнения х² + х - 57 = 0 находим корни .

Значение не удовлетворяет условию 10х > 0.

Следовательно, корень .

4) Если х² + х - 57> 0 и х² + х - 57, то 3х² + 3 = 10х, откуда находим х₁ = 3,

х₂ =.

Оба этих значения нужно проверить подстановкой в данное уравнение.

При х = 3, получим (-45)³⁰ = (-45)³⁰ ─ верное равенство.

При х = ,

Эта запись не имеет смысла. Значит, х = 3.

Подводим итоги, приходим к выводу, что данное уравнение имеет 5 корней.

Ответ: х_1,2 = , х₃ = 7, х₄ = , х₅ =3.

IV этап урока (20 минут).

Разноуровневая самостоятельная работа.

Учитель предлагает учащимся со слабой математической подготовкой взять зеленые карточки. Работа для этих учащихся содержит простейшие задания, аналогичные тем, которые разбирались на уроке.

Зеленая карточка № 1.

А 1. Найти значение выражения: 3^{-4,5а .}3^2,5а, при а = -.

1) 2) 3 3) 1 4) .

А 2. Найти множество значений функции: у = 2^х + 3.

1) [3; +∞) 2) (3; +∞) 3) (-∞; 3] 4) (-∞; 3).

А3. Решите уравнение: 2^3-х = 16.

1) -1 2) 1 3) 7 4) -7.

А 4. Решите неравенство: ≤ 0.

1) (-∞; -3] 2) [-3; 0) (1; +∞) 3) (-∞; -3) 4) (-1; 0) (3; +∞).

В 1. Найти наибольший корень уравнения:

81^х + 6^.∙9^х + 9 = 0.

Зеленая карточка № 2.

А 1. Найти значение выражения: 4^2х*4^-5х, при х = -.

1) 0,25 2) 4 3) 2 4) 16.

А 2. Какое из следующих чисел не входит во множество значений функции:

1) 2) 1 3) - 4) 0.

А3. Решите уравнение: 3^4-х = 27.

1) 1 2) 4 3) -1 4) 0 .

А 4. Решите неравенство: ≤ 0.

1) [-2; 0) [3; +∞) 3) (-∞; -2) (0; 3)

2) (-3; 0) (2; +∞) 4) (-∞; -2] (0; 3].

В 1. Решите уравнение: 9^2х+1 - 9^2х = 72.

Зеленая карточка № 3.

А 1. Найти значение выражения: 25^в∙5^-3в, при в = 0,5.

1). 2) 3) 5 4) .

А 2. Укажите множество значений функции: у = 20^х+5

1) (20;+∞) 2) (-∞;+∞) 3) (0; +∞) 4) (-5; +∞).

А3. Решите уравнение: 3^2х-4 = .

1) 1 2) - 1 3) - 2 4) 2.

А 4. Решите неравенство: ≤ 0.

1. (-1; 0) [5; +∞) 3) (-∞; -1) (0; 5)

2) (-∞; -1) (0; 5] 4) [-5; 0) (1; +∞).

В 1. Решите уравнение: 5^х+2 - 2*5^х = 115.

Учащимся со средней математической подготовкой предлагают голубые карточки.

Голубая карточка № 1.

А 1. Найти значение выражения: 8^3а. 16^-2а при а = - 2.

1) 4 2) 3) - 4) 8.

А 2. Укажите функцию, множеством значений которой является промежуток (0; +∞).

1) log₂х 2) 3) у = sin 4х 4)

А3. Пусть х₀ ─ наибольший корень уравнения 625= 25¹². Найти 2х₀ - 5.

1) 7 2) - 3 3) - 17 4) - 7.

А 4. Решите неравенство: ≤ 0.

1)(- 0,5; 5] (7; +∞) 3) (-∞;-0,5][5; 7)

2) (-0,5; 5] (7; + ∞) 4) (-∞;-0,5] (5; 7].

В 1. Решите уравнение: 2^3х+2 + 8^х = 0,625.

Голубая карточка № 2.

А 1. Найти значение выражения: 16^3m∙ 8^-2m, при m = .

1) 2 2) 16 3) 8 4) 1.

А 2. Укажите функцию, множеством значений которой является промежуток (0;+∞).

1) у = logх 2) у = 3^х 3) у = sin х 4) у = соs х.

А 3. Пусть х₀ ─ наименьший корень уравнения 81 = 9^2х. Найти 3х₀ + 2.

1) - 2 2) - 4 3) - 1 4) 2.

А 4. Решите неравенство: ≥ 0.

1) (-7; -4] (1; +∞) 3) (-∞; -7) [ - 4; 1)

2) [-7; -4] [1; +∞) 4) (- ∞; - 7) [- 4; 1].

В 1. Найти сумму корней уравнения: 4^х - 40∙2^х + 256 = 0.

Одному из наиболее подготовленных учащихся учитель выдает особую карточку

(с двумя заданиями).

Ученик эти задания выполняет у доски.

Красная карточка.

1. Найти сумму всех корней уравнения (х - 1)= (х -1)^4х.

2. Решите уравнение: 2∙ 4^х - 17∙2^х + 4 = 2- х².

Другим учащимся выдают желтые карточки. В своих работах учащиеся должны представить краткий ответ на первую задачу и развернутое решение второй задачи.

Желтая карточка № 1.

1. Решите уравнение 4^7х∙- 4∙ = 0. (Если уравнение имеет более одного корня, то в ответе запишите произведение всех корней).

Ответ: 14.

2. Найти корень уравнения , принадлежащий области определения функции .

Ответ: -1.

Желтая карточка № 2.

1. Решите уравнение 3∙ + 3²⁵ ∙ = 0. Если уравнение имеет более одного корня, то в ответе запишите сумму всех корней.

Ответ: 4.

2. Решите уравнение:

Ответ: 0.

По истечении времени учащиеся сдают работы.

V этап урока (10 минут).

Обсуждение решений задач, представленных на доске.

Ученик, выполнявший задачи у доски, комментирует свое решение.

Решение уравнения (х - 1)= (х -1)^4х.

1) если х - 1 > 0 и х - 1 , приравниваем показатели: х² + 3 = 4х;

х² - 4х + 3 = 0;

х₁ = 1, х₂ = 3.

Проверка: если х = 3, то 2¹² = 2¹² ─ верно;

если х = 1, то 0⁴ = 0⁴ ─ верно, следовательно х₁ = 1, х₂ = 3.─ корни уравнения.

2) если х - 1 = 1, то х = 2.

Проверка: если х = 2, то 1⁷ = 1⁷ ─ верно, следовательно, х = 2 ─ корень уравнения.

3) если х - 1 = 0, х = 1 ─ корень уравнения, уже проверено.

4) если х - 1 =-1, х = 0, то (- 1)³ = (- 1)⁰, -1 = 1 ─ неверно, следовательно, х = 0 не является корнем уравнения.

Сумма корней 6.

Ответ: 6.

VI этап урока (5 минут).

Подведение итогов урока, комментарии по домашнему заданию.

Для сильных учащихся учитель приготовил домашнее задание на карточках, которые им выдает.

Карточка.

1. Решите уравнение .

Ответ: -1.

2. Решите уравнение .

Ответ: 2.

3. Решите уравнение .

Ответ: 2.

В качестве домашнего задания остальные учащиеся получают по варианту из краевой контрольной работы.

Учитель отмечает наиболее успешную работу на уроке отдельных учащихся и выставляет отметки.

Урок окончен.