Федеральное агентство по образованию РФ ГОУ СПО

«Воронежский государственный

промышленно - технологический колледж».

Наумов О. Е.

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕХНИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

Учебно-методическое пособие для подготовки

к зачету

ОСНОВЫ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКА

Воронеж 2012 г.

ББК 30.12

Данное методическое пособие представляет краткий сборник лекций по предмету «Элементы технической механики » студентов НПО профессии 30.20 «Автомеханик» и является дополнительным пособием для подготовки студентов к зачету и при выполнении расчетно-графических задач. Методическое пособие разработано в соответствии с рабочей программой по дисциплине, составленной на основе требований Государственного стандарта.

Рецензенты: профессор кафедры механизации

и проектирования машин ВГЛТА ,

доктор технических наук

П.И. Попиков

доцент кафедры «Транспортных машин» ВГАСУ,

преподаватель спецдисциплин ГОУ СПО «ВГПТК» ,

кандидат технических наук

С.А.Никитин

Печатается по решению методического совета Воронежского государственного промышленно-технологического колледжа

Пояснительная записка.

Методическое пособие предназначено для студентов второго курса НПО специальности 30.20 «Автомеханик». Пособие составлено на основе образовательных стандартов и рабочей программы предмета «Элементы технической механики» при изучении курса объёмом 52 аудиторных часа. Оно является первой частью трех общих разделов курса и рассматривает вопросы

«Теоретической механики ». Пособие состоит из следующих разделов:

1.Статика.

2.Кинематика.

3.Динамика.

В пособии в краткой форме изложены основные теоретические вопросы, определения, формулы, которые рассматриваются на занятиях со студентами.

Материал построен таким образом, что по мере изучения основных формул и понятий каждой темы студенту предлагается ответить на вопросы. Рассматриваемые вопросы относятся к зачетному материалу, на них студент будет отвечать по окончанию изучения всего курса. Полный список вопросов для подготовки к зачету, и дополнительная литература предложена в конце пособия.

В методическом пособии намеренно опущены все поясняющие схемы и графические рисунки, так как они подробно рассматриваются на уроках предмета «Элементы технической механики» и в процессе решения расчетно-графических задач.

Такой нестандартный подход позволяет дифференцированно обучать и оценивать знания студентов. Слабому студенту он дает возможность усвоить минимальный объем знаний для сдачи зачета, сильному - более углубленно и творчески изучить предмет, преподавателю - высвободить время для прямого диалога со студентами при изучении сложных тем и разделов предмета «Элементы технической механики ».

Раздел 1. СТАТИКА

1. Основные понятия и аксиомы статики

Теоретическая механика - это наука, в которой изучается меха­ническое движение тел, и устанавливаются общие законы этого движения. Теоретическая механика разделяется на статику, кине­матику и динамику.

Статика - это раздел теоретической механики, в котором изу­чаются законы приведения и условия равновесия сил, действующих на материальные точки.

Что изучает теоретическая механика?

Встречающиеся в природе материальные тела обладают способ­ностью под действием приложенных сил в той или иной мере де­формироваться, т.е. менять форму вследствие изменения взаимного расположения образующих их частиц. Однако у большинства твер­дых тел (металлов, дерева) в нормальных условиях эти деформации пренебрежимо малы. Учет их приобретает практическое значение только при рассмотрении вопроса прочности соответствующих конструкций. Эти вопросы изучаются в разд. «Сопротивление ма­териалов». При рассмотрении же общих условий равновесия де­формациями большинства твердых тел в первом приближении можно пренебречь. В связи с этим в механике вводится понятие абсолютно твердого тела.

Абсолютно твердым телом называется тело, расстояние между любыми двумя точками которого всегда остается неизменным.

В статике мы будем рассматривать все тела как абсолютно твердые, в дальнейшем для краткости называя их твердыми телами или просто телами.

Другим основным понятием в статике являет­ся понятие силы.

Силой называется векторная величина, представляющая собой меру механи­ческого воздействия одних тел на другие.

Что называется абсолютно твердым телом?

Механическим воздейст­вием называется такое взаи­модействие материальных тел, в результате которого с течением времени происхо­дит изменение взаимного положения этих тел в про­странстве (механическое дви­жение) или изменение вза­имного положения частиц этих тел (деформация). На­пример, при штамповке деталей верхний штамп, падая, останавливается в результате взаимо­действия с нижним штампом. Если же между ними положить заго­товку, то в результате такого же взаимодействия происходит деформация заготовки.

Итак, сила Р как векторная величина имеет модуль Р, точку приложения А и направление (линию действия силы)

Проекции вектора силы Р на оси координат определяются сле­дующим образом:

Модуль вектора Р , т.е. значение силы, определяется по теоре­ме Пифагора:

Введем следующие определения:

Материальной точкой называется абсолютно твердое тело, размерами которого можно пренебречь, мысленно сосредоточив всю массу этого тела в точке. Например, движение спутника во­круг планеты можно рассматривать как движение материальной точки, так как размеры спутника ничтожно малы по сравнению с размерами планеты.

Системой сил называется совокупность нескольких сил, дейст­вующих на данное тело.

Две системы называются эквивалентными, если, действуя на одно и то же твердое тело, они производят одинаковое механиче­ское воздействие.

Силы, действующие на частицы тела со стороны других мате­риальных тел, называются внешними силами. Силы, действующие на частицы данного тела со стороны других частиц этого же тела, называются внутрен­ними силами.

Если под действием данной системы сил свободное тело может находиться в покое, то такая система сил называется уравновешен­ной или системой, эквивалентной нулю.

Если система сил эквивалентна одной си­ле, то эта сила называется равнодействующей данной системы сил. Сила, приложенная к телу в какой-нибудь одной точке, назы­вается сосредоточенной силой. Силу, действующую на определен­ную часть поверхности тела, называют распределенной.

Какие системы сил называются эквивалентными, и как они связаны с внешними и внутренними силами?

Все теоремы и уравнения статики базируются на нескольких исходных положениях, принимаемых без математических доказа­тельств и называемых аксиомами. Аксиомы статики представля­ют собой результат знаний, накопленных человечеством, и отра­жают объективные процессы. Справедливость этих аксиом под­тверждается многочисленными опытами и наблюдениями.

Аксиома 1. Две силы, действующие на свободное аб­солютно твердое тело, находятся в равновесии тогда и только тогда, когда они равны по модулю и направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны.

Аксиома 2. Действие данной системы сил на абсолютно твер­дое тело не изменится, если к ней прибавить или от нее отнять уравновешенную систему сил.

Следствие из аксиом 1 и 2: точку приложения силы, действую­щей на абсолютно твердое тело, можно переносить вдоль ее линии действия в любую другую точку тела.

Аксиома 3. Две силы, приложенные к телу в одной точке, имеют равнодействующую, являющуюся диагональю параллелограмма, построенного на этих силах как на сторонах.

Из аксиомы 3 следует, что равнодействующая двух сил, при­ложенных в одной точке, равна их геометрической сумме и при­ложена в той же точке.

Аксиома 4. Два материальных тела действуют друг на друга с силами, равными по величине и противоположно направленны­ми. Такая система сил не является уравновешенной, так как силы приложены к разным телам.

Аксиома 5. Если деформируемое тело находится в равновесии под действием данной системы сил, то равновесие не нарушится, если тела станут абсолютно твердыми. Эта аксиома называется аксиомой затвердевания.

Из аксиомы 5 следует, что это условие, являясь необходимым и для абсолютно твердого тела и для деформируемого, не явля­ется для последнего достаточным.

Следствие из каких аксиом характеризует перенос сил вдоль линии её действия?

2. Связи и их реакции

Тело, которое может совершать любые перемещения в про­странстве, называется свободным. Примером свободного тела может служить самолет или снаряд, летящие в воздухе. В различ­ного рода сооружениях и конструкциях мы обычно встречаемся с телами, на перемещения которых наложены ограничения. Такие тела называются несвободными.

Тело, ограничивающее свободу движения твердого тела, является по отношению к нему связью. Если приложенные к телу силы будут стремиться сдвинуть его по тому или иному направлению, а связь препятствует такому пере­мещению, то тело будет воздействовать на связь с силой давления на связь. По аксиоме 4 статики связь будет действовать на тело с такой же силой, но противоположно направленной. Сила, с кото­рой данная связь действует на тело, препятствуя тому или иному перемещению, называется силой реакции связи.

Из изложенного следует принцип освобождаемости твердого тела от связи, или аксиома связи: всякое несвободное тело можно рассматривать как свободное, если мысленно отбро­сить наложенные на тело связи и приложить вместо них силы реакции этих связей.

В чем состоит принцип освобождаемости твердого тела от связи?

Силы, действующие на тела, будем разделять на заданные, или активные силы, и реакции связей, или пассивные силы.

Активные силы отличаются тем, что модуль и направление каждой силы наперед известны и не зависят от действия других приложенных к данному телу сил. Примерами активных сил могут служить мускульная сила человека, сила тяжести, сила сжатой пружины.

Реакции связи на покоящееся тело возникают лишь в тех случаях, когда это тело под действием активных сил оказывает давление на связь, поэтому они и называются пассивными си­лами.

По аксиоме связи реакция связи направлена в сторону, про­тивоположную той, куда связь не дает перемещаться телу. Сле­довательно, если известно, в каком направлении связь препятст­вует перемещению твердого тела, то известно и направление реакции связи.

Чем отличаются активные силы от пассивных?

Рассмотрим наиболее часто встречающиеся типы связей.

1. Гладкая поверхность или плоскость. Гладкой бу­дем называть такую поверхность, на которой в первом прибли­жении можно пренебречь трением. Связь в виде гладкой поверх­ности не дает телу перемещаться только в одном направлении - перпендикулярном к этой поверхности. Поэтому реакция глад­кой поверхности направлена по нормали к этой поверхности и приложена к телу в точке касания.

2. Гладкая опора. Связь, осуществленная в виде гладкой опоры, не дает телу перемещаться в направлении, перпендикуляр­ном к поверхности тела в точке опоры. Реак­ция гладкой опоры направлена по нормали к опирающейся по­верхности и приложена к телу в точках касания .

3. Нить. Связь, осуществляемая в виде гибкой нити, не позволяет телу удаляться от точки привеса, поэтому реакция связи всегда направлена вдоль нити к точке ее закрепления.

4. Цилиндрический шарнир. Цилиндрический шарнир допускает вращение вала, но препятствует его перемеще­нию в плоскости хОу. Поэтому реакция цилин­дрического шарнира расположена в плоско­сти, перпендикулярной оси возможного вращения, и ее направление определяют две взаимно перпендикулярные проекции на оси Ох и Оу.

5. Невесомый стержень. Жесткий невесомый (массой его пренебрегают) стержень, шарнирно прикрепленный к телу, испытывает действие только двух сил, приложенных в шар­нирах А и В. Как и вся конструкция, стержень АВ находится в равновесии. Если стержень находится в равновесии под действием двух сил, то в соответствии с аксиомой 1 статики эти силы должны быть равны по модулю, но противоположно направлены по одной линии действия.

6. Жесткая заделка. Заделка исключает возможность лю­бых перемещений вдоль осей Ох и Оу, а также поворот в плоскости хОу. Поэто­му такая связь при освобождении тела от связи будет заменяться реакцией

Какая из связей допускает вращение вала препятствуя его перемещению вдоль оси ?

3. Плоская система сил

Система сил, линии, действия которых лежат в одной плоско­сти, называется плоской.

На плоскости могут быть приложены произвольно располо­женные силы, пары сил и силы, сходящиеся в одной точке. Рас­смотрим равновесие системы сходящихся сил.

Сходящимися называются силы, линии, действия которых пере­секаются в одной точке. Существуют два способа сложения пересекающихся сил: геометрический и аналитический.

Условием равновесия системы сходящихся сил является равен­ство нулю модуля равнодействующей, т.е. силовой многоуголь­ник должен быть замкнутым (при геометрическом способе сложе­ния) или, аналитически, проекции равнодействующей силы на оси координат должны быть равны нулю. Отсюда для плоской системы сходящихся сил получим два уравнения равнове­сия этих сил:

Следовательно, для равновесия системы сходящихся сил необхо­димо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил на каждую из осей координат была равна нулю.

Что называется плоской системой сил?

Моментом силы F относительно некоторого центра О называ­ется величина, равная произведению силы на кратчайшее рас­стояние от точки О до линии действия силы и взятая с соответст­вующим знаком. Знак «плюс» соответствует моменту силы, кото­рая стремится повернуть тело вокруг точки О против хода часо­вой стрелки, а знак «минус» - если сила стремится повернуть тело по направлению движения часовой стрелки. Если линия действия силы проходит через точку, то момент силы относительно этой точки равен нулю.

Перпендикуляр, опущенный из точки О на линию действия си­лы F, называется ее плечом относительно центра О.

Пара сил. Система двух равных по модулю, параллельных и противоположно направленных сил, приложенных телу в двух разных точках, называется парой сил.

Плечом пары называется кратчайшее рас­стояние между линиями действия сил, составляющих пару.

Мо­ментом пары сил называется взятое со знаком «плюс» или «минус» произведение модуля одной из сил на плечо пары.

Что называется моментом силы относительно точки?

Произвольную плоскую систему сил можно заменить одной си­лой, равной геометрической сумме всех сил, приложенных в произ­вольно выбранном центре, и моментом, равным алгебраической сумме моментов присоединенных пар.

Полученная в результате приведения сила R называется резуль­тирующей силой (она не является равнодействующей для задан­ной системы сил, так как не заменяет их действия), а М₀ - резуль­тирующим моментом.

Приняты следующие определения:

1. Точка О называется центром приведения.

2. Вектор R, равный геометрической сумме всех сил, является главным вектором. Его значение не зависит от выбора центра приведения, т.е. R - инвариантная величина.

3. Момент М₀, равный алгебраической сумме моментов при­соединенных пар, называется главным моментом; его значение зависит от выбора центра приведения.

Чем отличается сходящиеся силы от произвольно расположенных?

1.4. Частные случаи приведения.

1. R=0, М₀ 0 - система сил приводится к паре с моментом, равным алгебраической сумме моментов всех сил относительно центра приведения. В этом случае главный момент не зависит от центра приведения.

2. R0, М_о=0 - система приводится к одной равнодействую­щей силе, приложенной в точке О; главный вектор в этом случае является равнодействующей, так как он один заменяет совокуп­ность действующих сил.

3. R  0, М₀  0 - такая система сил может быть заменена од­ной равнодействующей силой, приложенной в новом центре при­ведения, расположенном от прежнего на расстоянии d = М₀/R.

4. R = 0, М_о = 0 - плоская система сил находится в равновесии.

Аналитические условия равновесия плоской системы сил. Необ­ходимыми и достаточными условиями равновесия являются: R = 0 и М₀ = 0. Спроектировав вектор R на оси координат, получим

R_х = 0 и R_у = 0, так как

(1.1)

Зная, что

(1.2)

получим

аналитические условия равновесия произвольной плоской системы сил:

(1.3)

Часто эти уравнения называют основными уравнениями равновесия. В зависимости от расположения сил иногда целесообразно составлять условия равновесия в виде двух уравнений моментов и одного уравнения проекций:

В этом случае ось Ох не должна быть перпендикулярна АВ.

Запишите основные уравнения равновесия произвольной плоской системы сил.

5. Пространственная система сил

Пространственной будем называть систему сил, линии, действия которых имеют любые направления в пространстве.

Момент силы относительно точки (центра). Вектор момента силы относительно некоторого центра есть векторное произведе­ние радиуса-вектора точки приложения силы, проведенного из этого центра, на вектор силы

В соответствии с опре­делением

(1.4)

Модуль вектора момента силы относи­тельно центра О будет равен моменту силы относительно точки О, находящейся с этой силой в одной плоскости.

Известно, что всякий вектор можно разложить по осям коор­динат, так же можно разложить по осям координат радиус-вектор r точки приложения силы и силу F.

Проекции вектора момента силы на ось численно равны мо­менту силы относительно оси:

М_х = yF_z - zF_у ;

М_y = zF_х - хF_z; (1.5)

М_z = хF_у - уF_х;

(1.6)

Первые три уравнения являются аналитическим выражением для определения моментов силы относительно осей координат.

Теорема о приведении пространственной системы сил к задан­ному центру. Всякая пространственная система сил, действующих на абсолютно твердое тело, может быть заменена одной силой, геометрически равной сумме всех действующих сил, приложенных в произвольно выбранном цент­ре, и вектором-моментом, равным геометрической сумме моментов всех сил относительно центра при­ведения.

Аналитическое выражение для определения главного вектора и главного момента. Главный вектор R и главный момент М₀ были найдены геометрическим путем (построением векторных много­угольников). Для пространственной системы сил их проще опреде­лять аналитически. Принимаем центр приведения за начало коор­динат. Тогда, проектируя на оси координат векторные равенства, получаем:

(1.7)

Что называется главным вектором системы сил, и зависит ли он от точки приведения?

Частные случаи приведения. Любая произвольная пространст­венная система может быть заменена главным вектором и глав­ным моментом. Рассмотрим возможные частные случаи:

а) случай равновесия:

M₀= 0 ; R = 0

б) система сил сводится к паре (твердое тело вращается):

R = 0; М₀  0;

в) система сил сводится к равнодействующей:

1-й случай - R  0, М₀ = 0 - равнодействующая проходит че­рез центр приведения (точку О);

2-й случай - R  0, М₀  0 - при этом и результирующая сила и результирующая пара лежат в одной плоскости, т.е. R  М₀. Это частный случай плоской системы сил. Ранее было показано, что такой случай может иметь равнодействующую, приложенную не в центре приведения, а в другой точке, отстоящей от него на расстоянии, равном М₀/R. Таким образом пространственная систе­ма заменена одной равнодействующей, не проходящей через центр приведения;

г) система сводится к динамическому винту:

R  0 ; М₀  0 ,

и они не перпендикулярны.

Аналитические условия равновесия пространственной системы сил. Необходимыми и достаточными условиями равновесия про­извольной пространственной системы сил является равенство нулю главного вектора и главного момента:

R= 0; М₀ = 0.

Поскольку

(1.8)

то R_х , R_у и R_z должны быть

равны нулю. Аналогичное рассуждение справедливо и для векто­ра главного момента. Следовательно, для равновесия произволь­ной пространственной системы сил необходимо и достаточно:

(1.9)

Запишите основные уравнения равновесия произвольной пространственной системы сил.

1.6. Определение центра тяжести

Центр тяжести твердого тела. Силы притяжения отдельных частиц тела направлены приблизительно к центру Земли. Так как размеры рассматриваемых тел малы по сравнению с радиусом Земли, то эти силы можно считать параллельными. Равнодейст­вующая этих параллельных сил, равная их сумме, есть вес тела, а центр этой системы параллельных сил, в котором приложен вес тела, называется центром тяжести тела.

Точка приложения равнодействующей системы параллельных сил действующих на одно твердое тело называется центром параллельных сил. Положение центра параллельных сил относительно начала координат определяется координатами центра параллельных сил x_C , y_C , z_C .

Координаты центра параллельных сил определяются по формулам:

(1.10)

Координаты центра тяжести твердого тела. Если в формулах для определения координат центра параллельных сил вместо F_iх , F_iy ,F_iz, и R подставить т_ig_х т_i g_у , т_ig_z , и тg, то получим зависимо­сти для определения координат центра тяжести тела:

(1.11)

где т_i, v_i - соответственно масса и объем каждой частицы твер­дого тела, а т и V - вся масса и объем однородного тела.

Запишите формулы координат центра тяжести объемного твердого тела.

5. Способы определения центров тяжести.

Способ разбиения на фигуры, положение центров тяжести кото­рых известно. Применяется в случаях, когда тело можно разбить на конечное число элементов.

Способ дополнения является частным случаем способа разбие­ния на простейшие фигуры. Применяется, когда тело разбивается на простейшие фигуры, положения центров тяжести которых известны, но некоторые из геометрических фигур представляют из себя пустоты.

Способ интегрирования применяется в случаях, когда для опре­деления центра тяжести не могут быть применены первые два способа.

Экспериментальный способ осуществляется двумя методами - подвешивания и взвешивания.

Метод подвешивания заключается в том, что плоское тело, которое нельзя разбить на простейшие фигуры с известным положением центра тяжести, подвешивают на нити. Прочерчи­вают линию вдоль этой нити на плоскости тела. Затем эту пло­скую фигуру открепляют и подвешивают за другую точку, после чего вновь проводят вертикальную линию (вдоль линии подвеса). Пересечение этих двух линий дает точку, в которой находится центр тяжести.

Метод взвешивания. Обычно применяется для крупных изделий: самолетов, вертолетов и других машин. Если известна масса, то ставят на весы задние колеса и по показанию весов определяют реакцию. Затем со­ставляют одно из уравнений равнове­сия, и далее находят искомую величи­ну , т.е. положение центра тяжести.

Перечислите способы определения координат центра тяжести твердого тела. Укажите отличие экспериментального способа от способа дополнения.

Раздел 2. КИНЕМАТИКА.

2.1. Кинематика точки

Основные понятия. Кинематикой называется раздел механики, в котором изучается движение материальных тел в пространстве с геометрической точки зрения, вне связи с силами, вызывающими это движение.

В теоретической механике изучается простейшая форма дви­жения - механическое движение. Механическое движение всегда рассматривается относительно выбранной системы отсчета, кото­рая может быть подвижной или условно неподвижной. Например, при рассмотрении механического движения тел, находящихся на земле, за неподвижную систему осей координат выбираем систему осей, неизменно связанных с Землей.

Что изучает кинематика?

Способы задания движения материальной точки. Движущаяся точка описывает в пространстве некоторую линию, или траекто­рию точки.

Движение точки будет задано естественным способом, если будут известны:

1. траектория точки - S;

2. зависимость измене­ния длины участка траектории от времени или уравнение движения материальной точки

- S = f(t) (2.1.)

3. начало дви­жения;

4. направление отсчета.

Положение точки в пространстве определяется ра­диусом-вектором r, проведенным из некоторого неподвижного центра в данную точку М . Такой способ задания движения называется векторным.

Положение точки в пространстве в этом случае будет опреде­ляться геометрическим местом концов векторов r.

При координатном способе задания движения долж­ны быть известны зависимости, по которым можно определить, как со временем изменяются коор­динаты точки в пространстве:

x = f₁( t ) ; y = f₂( t) ; z = f₃( t ) (2.2)

Эти уравнения называются урав­нениями движения точки в декарто­вых координатах, с их помощью для каждого момента времени можно определить положение точки в про­странстве. Если точка движется на плоскости, то ее положение опреде­лится двумя уравнениями

x = f₁( t ) ; y = f₂( t) (2.3)

если точка движется по прямой, то ее движение определится только одним уравнением:

x = f₁( t ) (2.4)

Какие два способа задания движения материальной точки вы знаете? Запишите формулу естественного способа.

2.2. Скорость точки.

Скорость точки характеризует быстроту и на­правление движения точки. При векторном способе задания дви­жения положение точки в каждый момент времени определяется радиусом-вектором r₁ = r(t).

Пусть в момент времени t точка занимает положение М, опре­деляемое радиусом-вектором r = r(t) . В момент времени t + t точка займет положение М₁, определяемое радиусом-вектором r, . Этот радиус-вектор будет равен сумме: r₁ = r + r .

Отношение r/t является вектором средней скорости, а векторная производная от r по времени t и будет вектором скорости в данный момент времени:

(2.5)

Поскольку v есть производная от функции r = r(t) , то вектор скорости всегда направлен по касательной к траектории дви­жения материальной точки.

Если же движение точки задано естественным способом, то из­вестны ее траектория АВ, начало движения, направление и урав­нение движения

S = S(t) (2.6)

Воспользуемся полученной зависимостью для скорости и представим величину средней скорости без учета единичного вектора

(2.7)

Поскольку S - величина скалярная, то вектор S/t будет иметь направление касательной к траектории в точке М.

При движении точки по криволинейной траектории оценку скорости целесообразно проводить на предельно малом участке при условии что время стремится к предельно малому значению:

(2.8)

Производная представляет собой алгебраическое значе­ние скорости.

Абсолютная скорость материальной точки есть дифференциал пути по времени или первая производная пути от времени.

Так как скорость является векторной величиной, то для пространственной системы отсчета ее абсолютная величина будет равна диагонали параллелепипеда построенного на проекциях векторов скоростей v_х, v_у и v_z. Тогда модуль вектора скорости можно определить:

(2.9)

Укажите основные отличия определения средней и абсолютной скорости.

2.3. Ускорение точки.

Вектор ускорения точки

(2.10)

Абсолютное ускорение материальной точки есть дифференциал скорости по времени или вторая производная пути от времени. Если известны проекции а_х, а_у и а_z этого вектора на оси коор­динат, то можно определить модуль ускорения:

(2.11)

При естественном способе задания траектории движения мате­риальной точки ее вектор ускорения можно разложить по естест­венным осям координат a_ и a_n :

(2.12)

Проекция ускорения на орт a_ называется касательным ускоре­нием, которое изменяет модуль скорости:

(2.13)

Касательное ускорение существует только при неравномерном криволинейном движении.

Как между собой связаны касательное и нормальное ускорение?

Нормальное ускорение a_n изменяет направление векто­ра скорости v , поэтому материальная точка движется по криво­линейной траектории

(ρ - радиус кривизны траектории).

(2.14)

Что называется абсолютной скоростью и абсолютным ускорением?

2.4. Частные случаи движения материальной

точки.

1. a_n = 0 ; а_τ = 0. Следовательно, полное ускорение а = 0. Точка движется равномерно по прямой линии. Закон движения в этом случае

S = S₀ + v₀ t (2.15)

где S₀ - дуговая координата в начальный момент времени; v₀ -скорость движения точки в начальный момент движения (ско­рость не изменится и в любой другой момент времени t , так как движение не ускоренное).

2. а_n ≠ 0; а_τ = 0. - равномерное криволи­нейное движение. Вектор скорости мате­риальной точки изменяется лишь по на­правлению. Закон движения по криволи­нейной траектории запишется аналогично первому случаю:

S = S₀ + v₀ t (2.16)

3. a_n = 0 ; а_τ ≠ 0 - прямолинейное уско­ренное движение по закону

( 2.17)

4. a_n ≠ 0; а_τ ≠ 0 - криволинейное уско­ренное движение по закону

( 2.18)

Как от касательного и нормального ускорения зависит характер движения материальной точки?

2.5. Простейшие движения твердого тела

Поступательное движение. Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором любая прямая, взятая на теле, во время движения остается параллельной своему начальному положению.

При поступательном движении все точки описывают одинако­вые траектории и в каждый момент времени имеют геометрически равные скорости и ускорения. Это основное свойство поступа­тельного движения дает возможность изучать движение по одной из его точек. Примером поступательного движения является дви­жение поршня паровой машины, ползуна с резцом в поперечно-строгальном станке. В этих случаях траектории точек тела прямо­линейные. В спарнике двух колес (рис. 1.) траектории точек пред­ставляют окружность; сам спарник АА₁ движется поступательно, а колеса вращаются. Существуют еще более сложные траектории движения точек при поступательном движении тела. При выпуске шасси у истребителя МиГ-21 колеса совершают поступательное движение, причем траектории точек колеса имеют пространствен­ную кривую.

Рис .1.

Вращательное движение относительно неподвижной оси. Вра­щательным называется такое движение твердого тела, при кото­ром точки тела движутся в плоскостях, перпендикулярных непод­вижной прямой, называемой осью вращения тела, и описывают окружности, центры которых лежат на этой оси. Для осуществ­ления этого движения следует неподвижно закрепить две точки твердого тела А и В (рис. 2). Тогда прямая, проходящая через эти точки, является осью вращения.

При вращении тела угол поворота тела меняется в зависимости от времени:

φ = f (t) ( 2.19) Рис. 2

Эта зависимость называется уравнением вращательного движе­ния тела.

Величина, характеризующая быстроту изменения угла поворо­та φ с течением времени, называется угловой скоростью тела. Ее значение определяется по формуле

(2.20)

Учитывая, что S = rφ и, следовательно,

,

Получим (2.21)

Отсюда найдем линейную скорость точки вращающегося тела

v_M = ω r. (2.22)

Величина, характеризующая быстроту из­менения угловой скорости с течением време­ни, называется угловым ускорением

(2.23)

Если dω /dt > 0 и dφ /dt > 0, то движение ускоренное; если dω /dt < 0, a dφ /dt > 0 , то движение замедленное.

Какое движение называется поступательным,

а какое - вращательным ?

2.6. Частные случаи вращательного

движения тела.

1. ω = const - равномерное вращательное движение по

закону

φ = φ₀ + ω t (2.24)

2. ε = const - равнопеременное вращательное движение

(равно­ускоренное или равнозамедленное). Его закон движения:

(2.25)

Плоское движение твердого тела. Плоским, или плоско-парал­лельным, движением твердого тела называется такое движение, при котором каждая точка тела движется в плоскости, парал­лельной некоторой неподвижной плоскости. Примерами плоского движения являются движение шайбы по льду, колеса поезда по прямолинейному участку пути.

Плоское движение тела можно разложить на поступательное и вращательное относительно выбранного центра. На рис. 3 пока­зано, что тело из положения I можно переместить в положение II , используя два варианта.

1. вариант. Перемещаем тело поступательно так, чтобы прямая АВ, перемещаясь параллельно самой себе, заняла в пространстве положение А₂В₁. После этого повернем тело вокруг точки В₁ на угол φ₁.

2. вариант. Переместим тело поступательно из положения I так, чтобы прямая А В совместилась с прямой А₁В₂, ей параллельной. После этого будем вращать тело вокруг точки A₁ до тех пор, пока точка В₂ не попадет в точку В₁. Поскольку A₁B₂ || A₂B₁, то углы φ₁ = φ₂. Следовательно, чтобы занять положение II, тело может

Рис. 3

совершить различные поступательные движе­ния (в зависимости от выбранного полюса), а вращение, как в первом, так и во втором варианте, будет одинаковым.

Следовательно, любое плоское движениеможно разложить на

поступательное движе­ние тела вместе с выбранным полюсом и

вра­щательное относительно полюса. Рис. 4
Чаще всего за такой полюс выбирают центр масс тела.

Что такое плоское движение твердого тела?

Мгновенный центр скоростей. Неизменно связанная с телом точка, скорость которой равна нулю, называет­ся мгновенным центром скоростей. Мгновенный центр скоростей (МЦС) лежит на перпендикулярах к скоростям точек тела, опу­щенных из этих точек (рис. 4). Различные случаи определения мгновенного центра скоростей показаны на рис. 5, а-в.

Рис. 5

Преобразование движений. В машинах очень часто происходит преобразование одного движения в другое. Например, в кривошипно-шатунном механизме (рис.6) кривошип ОА совершает вращательное движение, которое преобразуется в поступательное перемещение ползуна В. При решении практических задач бывает необходимо найти законы этого движения или скорости. Рассмот­рим пример.

Рис. 6.

Что называется мгновенным центром скоростей?

Раздел 3. ДИНАМИКА.

1. Законы динамики и уравнения

движения точки

Динамикой называется раздел механики, в котором изучается движение материальных тел под действием приложенных к ним сил.

В основе динамики лежат законы, сформулированные Ньютоном.

Первый закон - закон инерции, установленный Галилеем, гласит: материальная точка сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, пока воздействие других тел не изменит это состояние.

Второй закон - основной закон динамики - устанавливает связь между ускорением, массой и силой: ускорение материальной точки пропорционально приложенной к ней силе и имеет одинаковое с ней направление. Запишем этот закон в форме, которую придал этому закону Эйлер (рис. 7):

та =F. (3.1)

В классической механике мас­са т принята за постоянную ве­личину. Масса является мерой инертности материальных тел в их поступательном движении. Запишем основной закон дина­мики в виде скалярных равенств, проектируя векторное равенство на оси координат: Рис.7

ma_x = F_x

та_у = F_y (3.2)

ma_z = F_z.

Третий закон формулируется следующим образом: всякому дей­ствию соответствует равное и противоположно направленное про­тиводействие. Этот закон устанавливает, что при взаимодействии двух тел, в каком бы кинематическом состоянии они не находились, силы, приложенные к каждому из них,

равны по модулю и направ­лены по одной прямой в противоположные стороны.

Что называется динамикой?

Четвертый закон не был сформулирован Ньютоном как отдель­ный закон механики, но таковым можно считать сделанное им обобщение правила параллелограмма сил: несколько одновременно действующих сил сообщают точке такое ускорение, какое сообщала бы одна сила, равная их геометрической сумме.

Векторное выражение основного закона динамики можно спро­ектировать либо на декартовы, либо на естественные оси коорди­нат. В первом случае получим уравнения движения материальной точки в прямоугольной декартовой системе координат:

(3.3)

где

Во втором случае получим естественные уравнения движения:

m a_n= F_n ; т а_τ = F_τ ; m a_n = F_n (3.4)

где а_п = v² / ρ ; a_τ= d²S / dt².

Назовите отдельный закон механики обобщающий векторное действие сил в пространстве.

3.2. Силы, действующие на точки

механической системы.

Механической системой называют мысленно выделенную сово­купность материальных точек, взаимодействующих между собой. Механическую систему иногда называют материальной системой или системой материальных точек. Существуют системы свободных точек (например, Солнечная система) и несвободных матери­альных точек (их движения ограничены связями). Примером сис­темы несвободных точек может служить любой механизм или машина.

Все силы, действующие на систему несвободных точек, можно разделить на задаваемые силы и реакции связей.

По другому признаку силы, действующие на точки любой ме­ханической системы, можно разделить на внешние и внутренние. Условимся обозначать внешние силы F^E, а внутренние силы F^J.

Внешними называют силы, действующие на точки системы со стороны материальных точек, не входящих в состав данной системы.

Внутренними силами называются силы взаимодействия между материальными точками данной механической системы. Примером внутренних сил могут служить силы упругости, действующие между частицами упругого тела, принятого за механическую систему.

Одна и та же сила может быть как внешней, так и внутренней в зависимости от того, какая механическая система рассматривается. Например, реакции подшипников вала являются внешними силами по отношению к валу. Эти же реакции можно отнести к внутренним силам, если рассматривать всю установку вместе со станиной.

Таким образом, в зависимости от типа классификации сил лю­бая сила может быть внешней или внутренней, в то же время она может быть задаваемой или реакцией связи. Движение точек системы зависит как от внешних, так и от внутренних сил.

Что называется механической системой ?

По закону равенства действия и противодействия каждой внут­ренней силе соответствует другая внутренняя сила, равная ей по модулю и противоположная по направлению.

На основании этого можно сделать следующие выводы:

1. Главный вектор всех внутренних сил системы равен нулю:

(3.5)

Следовательно, и суммы их проекций на координатные оси также равны нулю:

(3.6)

2. Главный момент всех внутренних сил системы относительно любого центра и координатных осей равен нулю:

(3.7)

Или

(3.8)

Хотя эти уравнения имеют вид уравнений равновесия сил, про­извольно приложенных в пространстве, но внутренние силы не уравновешиваются, так как они приложены к разным точкам системы и могут вызвать перемещение этих точек относительно друг друга.

Если механическая система состоит из некоторого количества материальных точек k , то определив центр масс такой системы и используя основной закон динамики учитывая что главный вектор равен нулю можно получить уравнения:

, , (3.9)

выражающие теорему о движении центра масс систе­мы, которая формулируется следующим образом.

Центр масс механической системы движется как материальная точка с массой, равной массе системы, к которой приложены все внешние силы, действующие на эту систему.

Отсюда следует, что внутренние силы не оказывают влияния на движение центра масс механической системы.

Запишите теорему о движении центра масс механической системы.

3. Работа силы.

Вычислим работу силы, постоянной по модулю и направлению (рис.8). Предположим, что точка М перемещается в точку М_х. Вектор силы F с вектором перемещения составляет угол а. В этом случае работу выполняет только та составляющая силы, которая совпадает с направлением вектора перемещения U:

(3.10)

Из векторной алгебры известно, что скалярное произведение двух векторов Следовательно, работа постоянной по модулю и направлению силы на прямо­линейном перемещении опреде-ляется скаляр­ным произведением Рис. 8.

вектора силы на вектор перемещения ее точки приложения:

(3.11)

Что такое работа постоянной силы на прямолинейном пути?

Рассмотрим частные случаи определения работы постоянной силы.

1. Сила F действует на тело в направлении вектора перемеще­ния U: A = FU.

2. Сила F направлена перпендикулярно вектору перемещения U: А = 0.

3. Сила F направлена в сторону, противоположную вектору перемещения U: А = - F U.

4. Работа силы тяжести не зависит от вида траектории, а опре­деляется только расстоянием по вертикали между начальной и конечной точками перемещения: если точка перемещается сверху вниз, то работа силы тяжести положительная:

А = mgH, (3.12)

где H - перепад высот;

если точка перемещается снизу вверх, то работа силы тяжести отрицательная:

А = - m g H. (3.13)

Из этого следует важный вывод: работа силы тяжести на замк­нутом пути равна нулю.

От каких факторов зависит работа силы действующей силы?

3.4. Мощность

Одна и та же работа может быть выполнена за различные про­межутки времени. Поэтому вводят понятие мощности N, которая определяется отношением работы ко времени.

Если в выражение мощности подставить вместо перемещения U=vt, то при равномерном прямолинейном движении мощность можно определять через силу и скорость движения:

N = F v cosα (3.14)

При работе машин часто бывает необходимо выразить мощ­ность через угловую скорость вращения ω. Для равномерного вра­щательного движения справедлива следующая формула:

(3.15)

где M_кр - крутящий момент относительно оси вращения; п - частота вращения, об/мин.

Что называется мощностью?

3.5. Коэффициент полезного действия

Чтобы произвести полезную работу, необходимо затратить не­сколько большую работу, так как часть ее расходуется на преодо­ление сил сопротивления (сил трения в зубчатых передачах и опо­рах, сопротивления воздуха и другой среды, в которой перемеща­ется материальная точка). Эффективность работы какой-либо установки или машины оценивается коэффициентом полезного действия η.

Коэффициентом полезного действия (КПД) машины называют отношение полезной работы к полной затраченной работе:

(3.16)

Что называется коэффициентом полезного действия?

Вопросы и задания к зачету по разделу

«Теоретическая механика»

1. Что изучает теоретическая механика?

2. Что называется абсолютно твердым телом?

3. Какие системы сил называются эквивалентными, как они связаны с внешними и внутренними силами?

4. Следствие из каких аксиом характеризует перенос сил вдоль линии её действия?

5. В чем состоит принцип освобождаемости твердого тела от связи?

6. Чем отличаются активные силы от пассивных?

7. Какая из связей допускает вращение вала, препятствуя его перемещению вдоль оси?

8. Что называется плоской системой сил?

9. Что называется моментом силы относительно точки?

10. Чем отличается сходящиеся силы от произвольно расположенных?

11. Что называется главным вектором системы сил, зависит ли он от точки приведения?

12. Запишите основные уравнения равновесия произвольной плоской системы сил.

13. Запишите основные уравнения равновесия произвольной пространственной системы сил.

14. Запишите формулы координат центра тяжести объемного твердого тела.

15. Перечислите способы определения координат центра тяжести твердого тела.

16. Укажите отличие экспериментального способа от способа дополнения.

17. Что изучает кинематика?

18. Какие два способа задания движения материальной точки вы знаете? Запишите формулу естественного способа.

19. Укажите основные отличия определения средней и абсолютной скорости.

20. Как между собой связаны касательное и нормальное ускорение?

21. Что называется абсолютной скоростью и абсолютным ускорением?

22. Как от касательного и нормального ускорения зависит характер движения материальной точки?

23. Какое движение называется поступательным, а какое - вращательным?

24. Что такое плоское движение твердого тела?

25. Что называется мгновенным центром скоростей?

26. Что называется динамикой?

27. Назовите отдельный закон механики, обобщающий векторное действие сил в пространстве.

28. Что называется механической системой?

29. Запишите теорему о движении центра масс механической системы.

30. Что такое работа постоянной силы на прямолинейном пути?

31. От каких факторов зависит работа силы действующей силы?

32. Что называется мощностью?

33. Что называется коэффициентом полезного действия?

Литература.

Вереина Л.И. Техническая механика: учебник для среднего проф. образов. - М.: Издательский центр «Академия»,2004. - 288с.

Аркуша А.И. Техническая механика: учеб. для средних спец. учеб. Заведений - М.:Высш.шк.,2003. - 352с.: ил;

Олофинская В.П. Техническая механика: Курс лекций с вариантами практических заданий: учебное пособие. - М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2005. - 349с., ил. - ( Профессиональное образование)

Для заметок

Для заметок

Учебно-методическое пособие

для подготовки к зачету студентов НПО

профессии 30.20 «Автомеханик»

Составил: преподаватель технических дисциплин

К.п.н. Наумов О. Е.

Редактор: к.т.н. Старчакова О.К.

ГОУ СПО

« Воронежский государственный промышленно - технологический колледж »

г. Воронеж, ул. 9 - го Января, д. 270