Решение типовых задач по расчету электрических цепей постоянного и переменного тока

Соловьев Валерий Иванович

преподаватель - методист высшей категории

Таврический колледж ФГАОУ ВО «Крымский

федеральный университет имени В. И. Вернадского»

г. Симферополь, Республика Крым

Решение типовых задач по расчету электрических цепей постоянного и переменного тока

Изучение электротехники предусматривает овладение теоретическими знаниями и приобретение определенных практических навыков. Особая роль в этом процессе, наряду с выполнением лабораторных и практических работ, отводится решению задач, которые позволяют использовать полученные теоретические сведения по конкретным разделам и темам электротехники.

Настоящее методическое пособие предназначено для закрепления теоретического материала по разделам:

• Электрическое и магнитное поле;

• Электрические цепи постоянного тока;

• Электрические цепи переменного тока.

Пособие содержит примеры решения типовых задач по электротехнике.

Раздел 1. Элетрическое и магнитное поле

Задача №1

В электрическом поле при перемещении заряда q = 2•10‾⁴ к совершена работа A = 0,4 дж. Определить напряжение между начальной и конечной точками пути.

Решение:

U = = = 2000 в = 2 кв.

Ответ: Напряжение между начальной и конечной точками пути при перемещении заряда q = 2•10‾⁴ к равно 2 кв .

Задача №2

Определить напряженность магнитного поля и маг­нитную индукцию в точках, расположенных на расстояниях 0,2; 0,4 и 1 см от оси прямолинейного провода. Радиус провода r = 0,4 см; электрический ток в проводе I = 50А и магнитная проницаемость μ = 1.

Решение:

Точка, лежащая на расстоянии 0,2 см от оси провода, находится внутри провода:

H = = = 1000 ;

B = μ• H = 4• 10•2000 = 25 гс.

Точка, лежащая на расстоянии 0,4 см от оси провода, находится на его поверхности:

H = = = 2000;

B = μ• H = 4 = 25 гс.

Точка, лежащая на расстоянии 1 см, лежит за пределами провода:

H = = = 800 ;

B = μ• H = 4 = 10 гс.

Ответ: Напряженность магнитного поля и маг­нитная индукция в точках, расположенных на расстояниях 0,2; 0,4 и 1 см от оси прямолинейного провода равна

H = 1000 ;

B = 25 гс.

H = 2000;

B = 25 гс.

H = 800;

B = 10 гс.

Раздел 2. Электрические цепи постоянного тока

Задача №3

Найти сопротивление между точками А и D, приведенной на рисунке электрической схемы, если каждое из трех сопротивлений равно 1 Ом. (Сопротивлением соединительных проводов пренебречь).

Решение:

Так как точки А и С, а также точки В и D соединены проводниками, сопротивление которых мы не учитываем, то схему представленную в условии задачи можно заменить эквивалентной схемой.

Из нее видно, что сопротивление между точка­ми А и D можно вычислить по формуле для параллель­ного соединения проводников.

= + + = ;

Откуда

R = = 0,33 Ом.

Ответ: Сопротивление между точками А и D равно R 0,33 Ом.

Задача №4

Мощность, потребляемая нагрузочным со­противлением RH = 9,9 Ом, измеряется с помощью вольтметра и амперметра. Вольтметр показывает 120В, ампер­метр 12А.

Считая, что показания приборов не содержат погрешностей (ошибки исключены с помощью поправок), подсчитать мощность, выделяющую­ся в сопротивлении RH. Найти по­грешность измерения мощности.

Решение:

Мощность, выделяющаяся в сопротивлении R_н , подсчитанная по показаниям приборов,

Р_из = UI = 120 ∙ 12 = 1440 Вт,

Действительное значение этой мощности

Р = I∙ R_н = 12² ∙ 9,9 = 1425,6 Вт.

Абсолютная погрешность измерения

ΔP = Р_из - Р = 1440 - 1425,6 = 14,4 Вт.

Относительная погрешность измерения

δ = ΔP/Р = 14,4/1425,6 = 0,0101 ≈ 1%.

Таким образом, проведя измерение абсолютно точны­ми приборами, получаем значение мощности, на 1 % от­личающееся от действительного.

Такая погрешность, вы­званная самой схемой измерения, называется система­тической или методической.

Эта погрешность может быть найдена и непосредст­венно по известной формуле

δ = RA / R_н

Внутреннее сопротивление амперметра

RA = - R_н = - 9,9 = 0,1 Ом

Погрешность

δ = RA / R_н = 0,1/9,9 = 0,0101.

Ответ: По­грешность измерения мощности δ = 0,0101 ≈ 1%.

Задача №5

Для изготовления обмотки нагревательного прибора при напряжении 220 В и токе 2 А применяется нихромовая лента. Определить длину ленты, приняв допустимую плотность тока δ = 10 :

ρнихрома= 1,1 - удельное сопротивление нихрома.

Решение:

S = = = 0,2 мм.

Сопротивление обмотки

r = = = 110 ом.

Определяем длину ленты

l = = = 20 м.

Ответ: Длина нихромовой ленты равна 20 м.

Задача №6

Определить сопротивление медного провода линии передачи сечением

S = 95мм, длиной l = 120 км при температурах О и 20 °С.

ρмеди= 0,0175 - удельное сопротивление меди.

αмеди = 0,004 - температурный коэффициент меди.

Решение:

r = ρ•;

так как ρ задано как раз для температуры 20° С, то, подставляя значения l и S, находим:

r = 0,0175 • = 21,7 ом.

Сопротивление провода при 0° С

r = r•=21,7 + 21,7 • 0,004 (-20 C) = 20 ом.

Ответ: Сопротивление медного провода линии передачи сечением S = 95мм, длиной l = 120 км при температурах О и 20°С равно 20 ом.

Задача №7

Определить напряжение на выходе делителя напряжения, который подключен к источнику питания 10 В в следующих случаях:

а) напряжение снимается со всего делителя напряжения;

б) напряжения снимается с половины витков делителя напряжения;

в) напряжение снимается с 1/4 витков делителя напряжения.

Решение:

Напряжение на выходе делителя определяется по формуле:

U = I • R

С другой стороны, ток переменного резистора находится из соотношения

I =

Следовательно, отношение напряжения на выходе делителя и напряже­ния питания пропорционально отношению сопротивлений R и R т.е.

U = • U

Отсюда находим искомые значения напряжений на выходе делителя

а) U = = 10 В;

б) U = = 5 В;

в) U = = 2,5 В.

Ответ:

а) напряжение снимается со всего делителя напряжения

U = 10 В;

б) напряжения снимается с половины витков делителя напряжения

U= 5 В;

в) напряжение снимается с 1/4 витков делителя напряжения U = 2,5 В.

Задача №8

Определять токи и напря­жения в электрической цепи, изображенной на рисунке, при следующих ее данных: Е = 2 в; r = 0,5 ом; r = 3,5 ом; r = 5 ом; r= 100 ом; r=25 ом.

Решение:

Находим проводимость параллельно соединенных ветвей

gАБ = g2+ g3 + g4 = + + = 0,25 ,

откуда следует, что сопротивление этого участка

r= = 4 ом.

общее сопротивление всей цепи

r = r + r + r = 0,5 + 3,5 + 4 = 8 ом.

Ток в неразветвленной части цепи

I = = = 0,25 А.

Напряжение между точками АБ

U = I• r= 0,25 • 4 = 1 В.

Токи в отдельных ветвях

I= = = 0,2 А;

I = = = 0,01 А;

I = = = 0,04 А.

Ответ: токи и напря­жения в электрической цепи равны:

U= 1 В.

I = 0,25 А.

I= 0,2 А;

I = 0,01 А;

I = 0,04 А.

Задача №9

При разомкнутом ключе К показания вольтметра 2,1 В. Когда ключ замкнут, амперметр фиксирует ток 1А. Внешнее сопротивление цепи R = 2 Ом. Определить ЭДС источника Е, внутреннее сопротивление источника R и напряжение на зажимах источника U.

Решение:

Когда цепь тока разорвана, вольтметр, подключенный к зажимам источника, практически фиксирует значение ЭДС.

Следовательно,

E = 2,1 В.

Для определения R необходимо воспользоваться законом Ома для всей цепи:

I = ,

Откуда

R + R = = = 2,1 Ом.

Так как известно, что внешнее сопротивление цепи R= 2 Ом, то внутренне сопротивление источника

R = 2,1 - 2 = 0,1 Ом.

Напряжение на зажимах источника

U = E - RI

или

U = RI

Подставляя значения в приведенные выражения, полу­чим

U = 2,1 - 0,1 • 1 = 2 B;

U = 2 • 1 = 2В;

Применение формулы U = E - RI предпочтительней, так как подчеркивается тот факт, что напряжение на зажимах источника меньше ЭДС, причем с увеличением тока это напряжение уменьшается.

Ответ: E = 2,1 В.

R = Ом.

U = 2 B;

Задача №10

Для электрической цепи представленной на рисунке, методом двух узлов, определить токи во всех ее ветвях. Задачу решить в общем виде, учесть, что известны следующие параметры электрической цепи: E1, E2, Ri1, Ri2, R1, R2, R3.

Решение:

Решение данной задачи состоит в расчете сложной цепи пе­ременного тока методом двух узлов. Для этого надо применитель­но к представленной на рисунке электрической схеме:

1) выбрать направления всех токов одинаковыми

2) найти проводимости всех ветвей, См,

G1 =

G2 =

G3 =

3) определить узловое напряжение Uab

Uab =

(E₂G₂ - со знаком "минус", так как E2 имеет противоположное I2 направление);

4. определить токи в ветвях;

I1 = (E1 - UAB)G1

I2 = (-E2 - UAB)G2

I3 = (0 - UAB)G3

4. если в результате расчетов какой - либо ток будет получен со знаком «минус», значит, его действительное направление противоположно выбранному на схеме. Действительное направление необходимо показать пунктиром на схеме.

Задача №11

Генератор постоянного тока с параллельным возбуждением работает на нагрузку, со­противление которой Rн = 5 Ом, сопротивление обмотки якоря Rя = 0,2 Ом, сопротивление обмотки возбуждения RB=230 Ом, напряжение на зажимах генерато­ра U =230 В.

Определить: а) ЭДС генерато­ра; б) электромагнитную мощность; в) потери мощности в обмотках яко­ря и возбуждения?

Решение:

Токи нагрузки

Iн = U/Rн = 230/5 = 46А

возбуждения

Iв = U/Rв = 230/230 = 1А

Якоря

Iя = Iн + Iв = 46 + 1 = 47A

ЭДС генератора

Е = U + Iя ∙ R_я = 230+47 ∙ 0,2 = 239,4 В

Электромагнитная мощность

Pэ = Е ∙ Iя = 239,4 ∙ 47 = 11251,8 Вт.

Потери мощности в меди обмотки якоря

Р_мя = Iя ∙ R_я = 47² ∙ 0,2 = 441,8 Вт

Потери мощности в меди обмотки возбуждения

Р_мв = Iв ∙ R_в = 1² ∙ 230 = 230 Вт

Добавочные потери в соответствие ГОСТом состав­ляют

1 % от полезной мощности генератора

Рдоб = 0,01 UIн = 0,01 ∙ 230 ∙ 46 = 105,8 Вт

Потери в щеточных контактах

Р_к = 2ΔUIя = 2 ∙ 0,5 ∙ 47 = 47 Вт

Ответ: ЭДС генерато­ра Е = 239,4 В; электромагнитную мощность

Pэ = 11251,8 Вт; потери мощности в обмотках яко­ря Р_мя = 441,8 Вт и возбуждения Р_мв = 230 Вт.

Задача №12

Чему равны одинаковые электрические токи, протекающие в двух па­раллельных проводах, которые расположены на расстоянии, а = 20 см друг от друга, если на каждый метр провода действует сила F = 100 н/м?

μ= 4 - магнитная постоянная.

Для воздуха μ = 1

Решение:

I = = = 10000А.

Ответ: Электрические токи, протекающие в двух па­раллельных проводах, которые расположены на расстоянии, а = 20 см равны 10000А.

Задача №13

Три конденсатора, емкости которых С = 20 мкф, С = 25 мкф и С= 30 мкф, соединяются последовательно. Опреде­лить общую емкость.

Решение:

Записываем формулу для определения общей емкости трех последовательно соединенных конденсаторов.

= + + = + + = 0,05 + 0,04 + 0,033 = 0,123.

C = = 8,13 мкф.

Ответ: Общая емкость трех конденсаторов, соединенных последовательно равна 8,13 мкф.

Задача №14

Определите емкость батареи конденсаторов, если емкость первого конденсатора С = 1 мкФ, второго - С = 2 мкФ, третьего - С = 4 мкФ.

Решение:

Конденсаторы С и С соединены параллельно, поэтому их общая емкость

C = С + С;

Конденсатор C соединен последовательно с C. По формуле последовательного соединения конденсаторов имеем:

= + ;

C = = = = = 0,86 мкф.

Ответ: C = 0,86 мкф.

Задача №15

Три одинаковых конденсатора соединены параллельно в батарею. Определите емкость батареи, если известно, что при подключении аккумулятора (U = 2 В) на обкладках каждого конденсатора накапливается заряд, равный 10Кл.

Решение:

При параллельном соедине­нии конденсаторов имеем:

C = C + C + C = 3 C

U = U=U=U

Следовательно,

С = 3 C = 3,

т. к. C = ; С = 3 • = 1,5 • 10Ф.

Ответ: Емкость батареи конденсаторов равна С = 1,5 • 10Ф.

Задача №16

Три конденсатора С, С, С емкостью 2 мкф каждый соединены параллельно. Определить их общую емкость.

Решение:

Записываем формулу для определения общей емкости трех параллельно соединенных конденсаторов. Но, так как, емкость всех трех конденсаторов одинакова то, можно воспользоваться, более простой формулой.

С = 3 • С = 3 • 2 = 6 мкф.

Ответ: Общая емкость трех конденсаторов, соединенных параллельно равна 6 мкф.

Задача №17

Пространство между плоскопараллельными металлическими пластинам заполнено парафинированной бумагой. Опреде­лить допустимое и пробивное напряжения между пластинами при условии, что допустимое напряжение должно быть меньше пробив­ного в 2,5 раза. Расстояние между пластинами d = 0,I мм.

εпр = 10⁴ - пробивная напряженность парафинированной бумаги.

Решение:

Пробивное напряжение:

U пр = ε пр • d =10⁴ • 0,1 = 1000 в.

Допустимое напряжение

U == = 400 в.

Ответ: Пробивное напряжение между пластинами равно 1000 в.

Допустимое напряжение по условию задачи должно быть меньше

пробив­ного в 2,5 раза и равно 400 в.

Раздел 3. Электрические цепи переменного тока

Задача №18

Электротехническое устройство с потребляемой мощ­ностью 50 Вт и напряжением питания 110 В нужно включить в сеть перемен­ного напряжения 220 В частотой 50 Гц. Найти емкость конденсатора, ко­торый необходимо подключить последовательно данному устройству, чтобы скомпенсировать избыточное напряжение.

Решение:

Для решения задачи необходимо определить ток и напряжение компенсирующего конденсатора, что позволит найти его реактивное сопротивление, а следовательно, и емкость. Поэтому ток в цепи не должен превышать

I = = = 0,455 A.

Напряжение на конденсаторе должно быть равно векторной разности напряжений питания и нагрузки:

U = = = 191 В.

Зная напряжение и ток конденсатора, находим его реактивное со­противление:

Х = = = 420 Ом.

По известной формуле для определения емкостного сопротивления

X = ;

находим искомую емкость конденсатора

С = = = 7,6 • 10Ф = 7,6 мкФ.

Ответ: Емкость конденсатора, ко­торый необходимо подключить последовательно данному устройству, чтобы скомпенсировать избыточное напряжение С = 7,6 мкФ.

Задача №19

В электрическую цепь переменного тока напряжением U = 220В, частотой

f = 50Гц включена катушка с индуктивностью L = 0,0127Гн и активным сопротивлением R = 3Ом.

Определить:

1) реактивное сопротивление катушки;

2) ток в ка­тушке;

3) активную мощность катушки;

4) реактивную мощность ка­тушки;

5) энергию, запасаемую в магнитном поле катушки.

Решение:

X = ωL = 2fL = 2 • 3,14 • 50 • 0,0127 = 4 Oм;

Z = = =5 Oм;

I = = = 44A;

P = U• I = I • R = 44 • 3 = 1936 • 3 = 5808 Вт;

Sin φ = = = 0,8;

Q = UI sinφ = 220 • 44 • 0,8 = 7744 Вар;

W = LI = 0,0127 • 44 = 24,59 дж.

Ответ: X = 4 Oм;

Z = 5 Oм;

I = 44A;

P = 5808 Вт;

Sin φ = 0,8;

Q = 7744 Вар;

W = 24,59 дж.

Задача №20

К генератору переменного электрического тока с напряжением

U = 240В и частотой f = 50Гц присоединен конденсатор с емкостью

C = 40 мкф.

Определить: 1) реактивное сопротивление емкости X;

2) ток в электрической цепи;

3) реактивную мощность цепи Q;

4) максимальную энергию, запасаемую в

электрическом поле конденсатора W.

Решение:

X = = = 80 Ом.

I = = = 3 A.

Q = U • I = 240 • 3 = 720 Вар.

W = C•U = 40 • 10•240 = 2,7 дж.

Ответ: Реактивное сопротивление емкости X = 80 Ом.

Ток в электрической цепи I = 3 A;

Реактивная мощность цепи Q = 720 Вар;

Максимальная энергия, запасаемая в электрическом поле

конденсатора W = 2,7 дж.

Задача №21

В электрическую цепь переменного тока напряжением U = 220 В, частотой

f = 50 Гц включена катушка с индуктивностью L = 25,5 мГн и активным сопротивлением R = 6 Ом.

Определить: X; Z ; U; U; cosφ.

Решение:

X = ωL = 2 = 2 • 3,14 • 50 • 0,0255 = 8 Oм;

Z = = = 10 Oм;

I = = = 22 A;

U= I R = 22 • 6 = 132 B;

U = U = I • X = 22 • 8 = 176 B;

Cos φ = = = 0,6.

Ответ: X = 8 Oм;

Z = 10 Oм;

I = 22 A;

U= 132 B;

U = U = 176 B;

Cos φ = 0,6.

Задача №22

В электрическую сеть напряжением 220В включено 16 одинаковых электрических ламп мощностью по 100Вт каждая. Определить необходимое сечение медного провода, соединяющего эти электрические лампочки.

Площадь поперечного сечения Наиболее допустимый

медного провода, мм электрический ток, А

0,50 10

0,75 13

1,0 15

Решение:

Полная мощность

Р = P ламп • 16 = 100 • 16 = 1600 Вт.

Ток в проводе

I = = = 7,273 А.

По таблице, приведенной в условии задачи, выбираем сечение провода;

S = 0,50 мм.

Ответ: Сечение медного провода, необходимое для подключения 16 одинаковых электрических ламп мощностью по 100Вт каждая в электрическую сеть напряжением 220В равно 0,50 мм.

Задача №23

Генератор переменного тока, используемый для получения переменной электродвижущей силы, имеет частоту вращения 2800 об/мин.

Определить частоту, период и угловую частоту электрического тока, возникающего при подключении генератора к нагрузке, если число пар полюсов генератора равно 6.

Решение:

Частота электрического тока гене­ратора

f = pn/60 = 6 ∙ 2800/60 = 280 Гц.

Период

Т= 1 / f = 1/280 = 0,0036 с

и угловая частота

ω = 2π/Т = 2 π f = 2 ∙ 3,14 ∙ 280 = 1750 1/с.

Ответ: Частота электрического тока равна f = 280 Гц,

период электрического тока равен Т= 0,0036 с,

угловая частота электрического тока равна ω = 1750 1/с.

Задача №24

В электрическую цепь переменного тока напряжением U = 220 В, частотой

f = 50 Гц включена катушка с индуктивностью L = 25,5 мГн и активным сопротивлением R = 6 Ом; I = 22 A; U= 132 B; Cos φ = 0,6.

Определить:

1) максимальную мощность в активном сопротивлении P;

2) активную мощность;

3) реактивную мощность;

4) полную мощность.

Решение:

P = 2 UI = 2 • 132 • 22 = 5808 Вт.

P = UI cos φ = 220 • 22 • 0,6 = 2904 Вт.

Q = UI sin φ =220 • 22 • 0,8 = 3872 Вар.

S = UI = 220 • 22 = 4840 BA.

Ответ: P = 5808 Вт.

P = 2904 Вт.

Q = 3872 Вар.

S = 4840 BA.

Задача №25

Лампа накаливания включена параллельно с линейным ре­зистором

R2 = 30 Ом.

Построить зависимость эквивалентного сопротивления Rэк цепи от напряжения U на его зажимах.

Методом последовательных приближений определить напряжение U при токе в неразветвленной части цепи I = 5А. Вольт-амперная характеристика лампы задана в таблице.

U, B

0

20

40

60

80

100

120

I, A

0

0,6

1,1

1,5

1,85

2,15

2,4

Решение:

Построим вольт-амперные ха­рактеристики элементов цепи.

На рисунке: I(U) - характеристика лампы и I2(U) - ха­рактеристика резистора R2. Сложив ординаты этих характеристик при различных значениях напряжения, получим вольт-амперную характе­ристику всей цепи, т. е. зависимость тока в неразветвленной части цепи от приложенного напряжения I(U). Эквивалентное сопротивление схемы найдем как отношение Rэк = U/I для различных значений приложенного напряжения.

Результаты вычислений приведены на гра­фике представленном на рисунке.