МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ САМОСТОЯТЕЛЬНЫХ РАБОТ по дисциплине «Математика» общеобразовательного цикла для специальностей социально-экономического и технического профилей

Самостоятельная работа № 1

Нахождение погрешности приближенного вычисления.

Цель занятия: научиться находить погрешности приближенного вычисления

Теоретическая часть:

Приближенным числом или приближением называется число, незначительно отличающееся от точного значения величины и заменяющее его в вычислениях. Под погрешностью же принято понимать разность между абсолютным значением и его приближением.

Для правильного понимания подходов и критериев, используемых при решении прикладной задачи с применением ЭВМ, важно понимать, что получить точное значение решения практически невозможно. Получаемое на ЭВМ решение почти всегда (за исключением некоторых весьма специальных случаев) содержит погрешность, т.е. является приближенным. Невозможность получения точного решения следует уже из ограниченной разрядности вычислительной машины.

Наличие погрешности обусловлено рядом весьма глубоких причин:

1. Математическая модель является лишь приближенным описанием реального процесса. Характеристики процесса, вычисленные в рамках принятой модели, заведомо отличаются от истинных характеристик, причем их погрешность зависит от степени адекватности модели реальному процессу.

2. Исходные данные, как правило, содержат погрешности, поскольку они либо получаются в результате экспериментов (измерений), либо являются результатом решения некоторых вспомогательных задач.

3. Применяемые для решения задачи методы в большинстве случаев являются приближенными. Найти решение возникающей на практике задачи в виде конечной формулы возможно только в отдельных, очень упрощенных ситуациях.

4. При вводе исходных данных в ЭВМ, выполнении арифметических операций и выводе результатов на печать производятся округления.

Точное значение величины - это значение, не содержащее погрешности. Повышение точности воспринимается как уменьшение погрешности. Часто используемая фраза "требуется найти решение с заданной точностью " означает, что ставится задача о нахождении приближенного решения, принятая мера погрешности которого не превышает заданной величины . Вообще говоря, следовало бы говорить об абсолютной точности и относительной точности, но часто этого не делают, считая, что из контекста ясно, как измеряется величина погрешности.

Если вместо точного числа мы берем приближенное число, то это последнее называется приближением с недостатком, если оно меньше точного числа, и с избытком, если оно больше его. Разность между точным числом и его приближением называется погрешностью этого приближения.

Пример № 1:

Точное число есть 3,826 и мы вместо этого числа взяли 3,82, то это будет приближение с недостатком, причем погрешность равна 0,006; если же вместо 3,826 возьмем, положим, 3,83, то будем иметь приближение с избытком, причем погрешность окажется 0,004.

Обыкновенно точная величина погрешности остается неизвестной, а известно только, что она меньше некоторой дроби.

Пример № 2:

Меньше ¹/₁₀₀ . Тогда говорят, что приближение точно до ¹/₁₀₀ .

Известно, что 2,85 есть приближение числа А с точностью до ¹/₁₀₀. Это значит, что 2,85 разнится от А меньше, чем на ¹/₁₀₀ , так что если 2,85 есть приближение с недостатком, то точное число А заключается между 2,85 и 2,86, а если 2,85 есть приближение с избытком, то А заключается между 2,85 и 2,84. Если же остается неизвестным, будет ли приближение 2,85 с недостатком или с избытком, а известно только, что оно точно до ¹/₁₀₀, то о числе А мы можем только утверждать, что оно заключается между 2,84 и 2,86.

Погрешность, о которой мы сейчас говорили, называется абсолютною погрешностью в отличие от относительной погрешности, под которою разумеют отношение абсолютной погрешности к точному числу.

Пример № 3:

Если вместо точного числа 3,826 мы берем приближенное 3,82, то относительная погрешность будет 0,006: 3,820 = 6:3826 = 0,001568..., т. е. менее 0,002. Это значит, что, взяв приближение 3,82, мы ошиблись менее, чем на 0,002 точного числа.

Иногда относительную погрешность выражают в процентах точного числа, т. е. указывают, что погрешность менее стольких-то процентов точного числа.

Пример № 4:

Так, если относительная погрешность менее 0,002 точного числа, то это значит, что она менее 0,2% этого числа, так как

Пусть имеется некоторая числовая величина, и числовое значение, которое ей присвоено, считается точным (), тогда под погрешностью приближенного значения числовой величины (ошибкой) понимают разность между точным и приближенным () значением числовой величины:

Погрешность может принимать как положительное так и отрицательное значение. Величина называется () известным приближением к точному значению числовой величины - любое число, которое используется вместо точного значения. Простейшей количественной мерой ошибки является абсолютная погрешность.

Абсолютной погрешностью приближенного значения () называют величину , про которую известно, что: .

Качество приближения существенным образом зависит от принятых единиц измерения и масштабов величин, поэтому целесообразно соотнести погрешность величины и ее значение, для чего вводится понятие относительной погрешности.

Относительной погрешностью приближенного значения называют величину , про которую известно, что: . Относительную погрешность часто выражают в процентах. Использование относительных погрешностей удобно, в частности, тем, что они не зависят от масштабов величин и единиц измерения. Так как точное значение обычно неизвестно, то непосредственное вычисление величин абсолютной и относительной погрешностей по предложенным формулам невозможно. Более реальная и часто поддающаяся решению задача состоит в получении оценок погрешности вида:

; .

где и - известные величины, которые называют верхними границами (или просто границами) абсолютной и относительной погрешностей.

Для округления десятичной дроби до какого-нибудь заданного разряда нужно знать, какая цифра следует за этим разрядом:

если за разрядом следует любая из цифр 0,1,2,3 или 4, - то все цифры, следующие за разрядом, отбрасывают.

Пример № 5:

Округляя до сотых число 5,7432, получим 5,74.

если за разрядом следует любая из цифр: 5, 6, 7, 8 или 9, - то цифра разряда увеличивается на единицу, а все следующие за ней цифры отбрасываются

Пример № 6:

Округляя до сотых число 5,7463, получим 5,75.

Контрольные вопросы:

1. Что называется абсолютной погрешностью?

2. Что называется относительной погрешностью?

Практическая часть:

1. Найдите относительную погрешность:

,

2. Найдите относительную погрешность:

,

3. Число различных конфигураций кубика Рубика записывается 20-значным числом 43252003274489856000. Строя новую конфигурацию за одну секунду, за сколько веков можно перебрать все конфигурации?

4.Изобразите на числовой оси следующие числа: 3,5; -2,2; ; ; .

5. Округлите с точностью до второго знака: x =1,1683; x = 0,2309; x =; x = ; x =

Литература:

1. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования / М.И. Башмаков. -М.: Издательский центр «Академия», 2010 г.

Самостоятельная работа № 2.

Преобразование алгебраических выражений

Цель занятия: закрепить навыки преобразования алгебраических выражений

Теоретическая часть:

Алгебраическим выражением называется совокупность конечного количества чисел, обозначенных буквами или цифрами, соединенных между собой знаками алгебраических действий и знаками последовательности этих действий (скобками).

Алгебраическое выражение, в котором указаны только действия сложения, вычитания, умножения и возведения в степень с натуральным показателем, называют целым рациональным выражением. Если кроме указанных действий входит действие деления, то выражение называют дробно-рациональным.

Целые рациональные и дробно-рациональные выражения вместе называются рациональными. Если входит еще и действие извлечения корня, то такое выражение называют иррациональным.

Числовым значением алгебраического выражения при заданных числовых значениях букв называют тот результат, который получится после замены букв их числовыми значениями и выполнения указанных в выражении действий.

Областью допустимых значений (ОДЗ) алгебраического выражения называют множество всех допустимых совокупностей значений букв, входящих в это выражение.

Одночленом называется алгебраическое выражение, в котором числа и буквы связаны только двумя действиями - умножением и возведением в натуральную степень.

Многочленом называется алгебраическая сумма нескольких одночленов. Одночлены, из которых состоит многочлен, называются его членами. Одночлен есть частный случай многочлена.

Формулы сокращенного умножения:

квадрат суммы (разности)

разность квадратов

куб суммы (разности)

сумма (разность) кубов

Пример № 1:

Упростите выражение:

Разложением многочлена на множители называется представление многочлена в виде произведения двух или нескольких многочленов.

Способы разложения многочлена на множители:

1. Вынесение общего множителя за скобку

Пример № 2:

Упростите выражение:

4ab-12bc=4b(a-3c)

2. Способ группировки:

Пример № 3:

Упростите выражение:

a⁴-5a³-2a+10=(a⁴-5a³)-2(a-5)=a³(a-5) -2(a-5)=(a-5)(a³-2)

3. Применение формул сокращенного умножения:

Пример № 4:

Упростите выражение:

8x³-y⁶=(2x-y²)(4x²+2xy²+y⁴)

Контрольные вопросы:

1. Перечислите способы разложения на множители?

2. Что называется алгебраическим выражением?

Практическая часть:

1. Разложите на множители:

a) a²+b²+2a-2b-2ab;

б) x³+(y-1)x+y;

в) a⁶-8;

г) x⁴-x²(y²+1)+y².

2. Сократите дробь:

а) ;

б)

в)

г)

3. Упростите выражение:

а): ;

б): -;

в) ;

г)

Литература:

1. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования / М.И. Башмаков. -М.: Издательский центр «Академия», 2010 г.

Самостоятельная работа № 3.

Преобразование рациональных, иррациональных степенных, показательных и логарифмических выражений

Цель занятия: закрепить навыки преобразования рациональных, иррациональных степенных, показательных и логарифмических выражений

Теоретическая часть:

Корнем n-й степени из числа a называется число b, такое что bⁿ= a

-четное -нечетное

1) существует всегда существует один корень

2 корня

2)

3) корней нет

Свойства корня n-й степени:

, (если то )

Степень с рациональным показателем:

Равенства:

Логарифмом числа c по основанию a называется такое число b, что a^b= c, т.е. показатель степени, в которую надо возвести основание, чтобы получить c: b = log_ac.

Основное логарифмическое тождество:

Основные свойства логарифмов:

Контрольные вопросы:

1. Назовите свойства корня n-й степени?

2. Перечислите основные свойства логарифмов?

Практическая часть:

1. Вычислите:

2. Вычислите:

3. Исключите иррациональность в знаменателе:

4. Упростите выражение:

Литература:

1. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования / М.И. Башмаков. -М.: Издательский центр «Академия», 2010 г.

Самостоятельная работа № 4.

Использование теоремы о трех перпендикулярах при решении задач

Цель занятия: продолжить освоение использования теоремы о трех перпендикулярах при решении задач

Теоретическая часть:

Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой, которая лежит в данной плоскости и проходит через точку пересечения.

Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум прямым в этой плоскости, проходящим через точку пересечения данной прямой и плоскости, то она перпендикулярна плоскости.

Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны.

Пусть даны плоскость и не лежащая на ней точка:

- перпендикуляром, опущенным из данной точки на данную плоскость, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и лежащий на прямой, перпендикулярной плоскости;
- конец этого отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием перпендикуляра;
- расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость;

- наклонной, проведенной из данной точки к данной плоскости, называется любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости, не являющийся перпендикуляром к плоскости;
- конец отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием наклонной;

- отрезок, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной, проведенных из одной и той же точки, называется проекцией наклонной.

На рисунке из точки А проведены к плоскости перпендикуляр АВ и наклонная АС. Точка В - основание перпендикуляра, точка С - основание наклонной, ВС - проекция наклонной АС на плоскость.

Теорема о трех перпендикулярах:

Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна наклонной. И обратно: Если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.

Две пересекающиеся плоскости, называются перпендикулярными, если третья плоскость, перпендикулярная прямой пересечения этих плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым.

Пример № 1

Через центр вписанной в треугольник окружности проведена прямая, перпендикулярная плоскости треугольника. Докажите, что каждая точка этой прямой равноудалена от сторон треугольника.

Решение:

Пусть А, В, С - точки касания сторон треугольника с окружностью, О - центр окружности и S - точка на перпендикуляре. Так как радиус ОА перпендикулярен стороне треугольника, то по теореме о трех перпендикулярах отрезок SА есть перпендикуляр к этой стороне, а его длина - расстояние от точки S до стороны треугольника. По теореме Пифагора SА=, где r - радиус вписанной окружности. Аналогично находим: , т.е. все расстояния от точки S до сторон треугольника равны.

Контрольные вопросы:

1. Что такое перпендикуляр, опущенный из данной точки на плоскость?

2. Что такое проекция наклонной?

Практическая часть:

1. Даны прямая а и плоскость . Проведите через прямую а плоскость, перпендикулярную плоскости .

2. Докажите, что если прямая параллельна плоскости, то все ее точки находятся на одинаковом расстоянии от плоскости.

3. Из точки к плоскости проведены две наклонные, одна из которых на 20 см больше другой. Проекции наклонных равны 10 см и 30 см. Найдите наклонные.

4. Сторона квадрата равна 4 см. Точка, равноудаленная от всех вершин квадрата, находиться на расстоянии 6 см от точки пересечения его диагоналей. Найдите расстояние от этой точки до вершин квадрата.

5. Из точки к плоскости проведены две наклонные, равные 10 см и 17 см. Разность проекций этих наклонных равна 9 см. Найдите проекции наклонных.

6. Из точки к плоскости проведены две наклонные, равные 23 см и 33 см. Найдите расстояние от этой точки до плоскости, если проекции наклонных относятся как 2:3.

7. Прямая а перпендикулярна плоскости АВС, угол АСВ равен 90^о, АС = 4, МD=3. Найти МС.

8. Прямая а перпендикулярна плоскости АВС. MD = 13. АС = 15, ВС = 20. АС ВС, МD АВ. Найти MC.

9. Катеты прямоугольного треугольника ABC (С =90°) равны 4 см и 3 см. Точка М находится на расстоянии √6 см от плоскости треугольника ABC и на одинаковом расстоянии от всех его вершин. Найти расстояние от точки М до вершин треугольника.

Литература:

1. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования / М.И. Башмаков. -М.: Издательский центр «Академия», 2010 г.

Самостоятельная работа № 5.

Решение задач на подсчет числа размещений, перестановок.

Цель занятия: освоить методы решения задач на расчет количества выборок

Теоретическая часть:

Комбинаторика - часть математики, которая посвящена решению задач выбора и расположения элементов некоторого конечного множества в соответствии с заданными правилами, т.е. комбинаторика решает задачи выбора элементов из конечного множества и размещения этих элементов в каком-либо порядке.

Размещениями из n - элементов по m - элементов () называются комбинации, составленные из данных n - элементов по m - элементов, которые отличаются друг от друга либо самими элементами либо порядком элементов.

=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)

Пример № 1. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр от 1…9?

Решение:

==504

Перестановками из n - элементов называется число размещений из этих n - элементов по n - элементов.

n(n-1)(n-2)…1=n!

Пример № 2. Сколькими способами можно расставить 5 книг на полке?

Решение:

=5!=120

Сочетаниями из n - элементов по m - элементов называются комбинации составленные из данных n - элементов по m - элементов, которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом.

Пример № 3. В группе 30 студентов. Для сдачи зачета их необходимо разбить на три группы. Сколькими способами это можно сделать?

n= 30

m=10

Контрольные вопросы:

1. Обозначьте цели комбинаторики.

2. Что называется числом сочетаний из n элементов по m?

3. Что называется числом размещений из n элементов по m?

4. Что называется перестановкой из n элементов?

Практическая часть:

1. Сколькими способами можно в группе из 25 человек направить 4 студента на научно - практическую конференцию?

2. Десять студентов обменялись рукопожатиями. Сколько было рукопожатий?

3. Сколькими способами можно составить трехцветный полосатый флаг из семи различных по цвету отрезов материи?

4. Сколько словарей надо издать, чтобы можно было выполнять переводы с любого из пяти языков на любой из них?

5. Вычислите:

6. Вычислите:

7. Вычислите: 5! + 6!

8. Найдите число размещений из 10 элементов по 4.

9. Вычислите:

10. Тридцать студентов обменялись фотокарточками. Сколько всего было фотокарточек?

11. Сколькими способами можно из восьми кандидатов можно выбрать три лица на три должности?

12. Решите уравнение:

13. Вычислите значение выражения:

14. Вычислите значение выражения:

15. Сколькими способами можно составить список из десяти человек?

Литература:

1. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования / М.И. Башмаков. -М.: Издательский центр «Академия», 2010 г.

Самостоятельная работа № 6.

Использование координат и векторов при решении математических задач.

Цель занятия: освоить операции над векторами, вычисление модуля и скалярного произведения.

Теоретическая часть:

Вектором называется направленный отрезок (упорядоченная пара точек). К векторам относится также и нулевой вектор, начало и конец которого совпадают.

Длиной (модулем) вектора называется расстояние между началом и концом вектора.

Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной или параллельных прямых. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны.

Коллинеарные векторы всегда компланарны, но не все компланарные векторы коллинеарны.

Векторы называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые модули.

Всякие векторы можно привести к общему началу, т.е. построить векторы, соответственно равные данным и имеющие общее начало. Из определения равенства векторов следует, что любой вектор имеет бесконечно много векторов, равных ему.

Линейными операциями над векторами называется сложение и умножение на число.

Суммой векторов является вектор:

Произведение: , при этом коллинеарен .

Вектор сонаправлен с вектором ( ), если > 0.

Вектор противоположно направлен с вектором (), если < 0.

Длина вектора в координатах определяется как расстояние между точками начала и конца вектора. Если заданы две точки в пространстве А(х₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂), то .

Длина вектора находится по формуле:

Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению длин этих сторон на косинус угла между ними.

= cos

Пример № 1.

Найти скалярное произведение (3 - 2)(5 - 6), если

15- 18- 10+ 12 = 15

+ 1236 = 240 - 336 + 432 = 672 - 336 = 336.

Пример № 2.

Найти скалярное произведение векторов и , если

()() =

= 10 +

+ 27 + 51 + 135 + 72 + 252 = 547.

Пример № 3.

При каких значениях m длина вектора равна 10?

; ;;;;

;

Контрольные вопросы:

1. Какие направленные отрезки называются равными?

2. Что называется вектором?

3. Что называется длиной вектора?

Практическая часть:

1. Построить точку А (2,3,1) на координатной плоскости

2. Даны точки А (2,-4,0), В (0,5,0), С (0,0,-1), К(-4,0,-2), Е (3,4,5)

Укажите среди них точки, которые лежат на оси z, в плоскости xy

3. Даны точки А (2,-1,0) и В (-4,2,2). Найдите длину отрезка АВ

4. Даны точки А (2,4,0) и В (-4,1,2). Найдите координаты точки С, если точка В - середина отрезка АС.

5. Даны вектор (2, 2,6), число =-5. Найдите вектор

6. При каких значениях m длина вектора равна 5?

7. Найти все значения m при которых длина вектора больше 47?

8. Найти длину вектора по заданным координатам его концов (1, 2, -1) и (3, -1, -2).

9. Даны векторы (1, 5, 6), (0, 2, -3) и =3-7. Определить длину вектора .

10. Найти длину основания равнобедренного треугольника с вершинами в точках A(2,3,1), B(1,3,3), C(2,4,3)

11. Построить точку А (2,1,3) на координатной плоскости

12. Даны точки А (2,-4,0), В (0,5,0), С (0,0,-1), К(-4,0,-2), Е (3,4,5)

Укажите среди них точки, которые лежат на оси y, в плоскости xz

13. Даны точки А (5,-2,0) и В (-1,4,3). Найдите длину отрезка АВ

14. Даны точки А (5,3,0) и В (-1,2,3). Найдите координаты точки С, если точка В - середина отрезка АС.

15. Даны вектор (1, 1,5), число =-4. Найдите вектор

Литература:

1. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования / М.И. Башмаков. -М.: Издательский центр «Академия», 2010 г.

Самостоятельная работа № 7.

История тригонометрии.

Цель занятия: познакомиться с историей тригонометрии

Теоретическая часть:

Древнегреческие математики в своих построениях, связанных с измерением дуг круга, использовали технику хорд. Перпендикуляр к хорде, опущенный из центра окружности, делит пополам дугу и опирающуюся на неё хорду. Половина поделенной пополам хорды - это синус половинного угла, и поэтому функция синус известна также как «половина хорды». Благодаря этой зависимости, значительное число тригонометрических тождеств и теорем, известных сегодня, были также известны древнегреческим математикам, но в эквивалентной хордовой форме.

Хотя в работах Евклида и Архимеда нет тригонометрии в строгом смысле этого слова, их теоремы представлены в геометрическом виде, эквивалентном специфическим тригонометрическим формулам. Теорема Архимеда для деления хорд эквивалентна формулам для синусов суммы и разности углов. Для компенсации отсутствия таблицы хорд математики времен Аристарха иногда использовали хорошо известную теорему, в современной записи - sin α/ sin β < α/β < tan α/ tan β, где 0° < β < α < 90°, совместно с другими теоремами.

Первые тригонометрические таблицы были, вероятно, составлены Гиппархом Никейским (180-125 лет до н. э.). Гиппарх был первым, кто свёл в таблицы соответствующие величины дуг и хорд для серии углов. Систематическое использование полной окружности в 360° установилось в основном благодаря Гиппарху и его таблице хорд. Возможно Гиппарх взял идею такого деления у Гипсикла, который ранее разделил день на 360 частей, хотя такое деление дня могли предложить и вавилонские астрономы.

Менелай Александрийский (100 н. э.) написал «Сферику» в трёх книгах. В первой книге он представил основы для сферических треугольников, аналогично I книге «Начал» Евклида о плоских треугольниках. Он представил теорему, для которой нет аналога у Евклида, о том, что два сферических треугольника конгруэнтны («соразмерный», «соответствующий»), если соответствующие углы равны, но он не делал различия между конгруэнтными и симметричными сферическими треугольниками. Другая его теорема гласит о том, что сумма углов сферического треугольника всегда больше 180°. Вторая книга «Сферики» применяет сферическую геометрию к астрономии. Третья книга содержит «теорему Менелая»», известную также как «правило шести величин».

Позднее Клавдий Птолемей (90 - 168 г. н. э.) в «Альмагесте» расширил Гиппарховы «Хорды в окружности». Его XIII книга - самая значимая тригонометрическая работа всей античности. Теорема, которая была центральной в вычислении хорд Птолемея, также известна сегодня как теорема Птолемея, которая говорит о том, что сумма произведений противоположных сторон выпуклого вписанного четырёхугольника равна произведению диагоналей. Отдельный случай теоремы Птолемея появился как 93 предложение «Данных» Евклида.

Теорема Птолемея влечёт за собой эквивалентность четырёх формул суммы и разности для синуса и косинуса. Позднее Птолемей вывел формулу половинного угла. Птолемей использовал эти результаты для создания своих тригонометрических таблиц, хотя, возможно, эти таблицы были выведены из работ Гиппарха. Ни таблицы Гиппарха, ни Птолемея не сохранились до настоящего дня, хотя свидетельства других древних авторов снимают сомнения об их существовании.

Другие источники сообщают, что именно замена хорд синусами стала главным достижением Средневековой Индии. Такая замена позволила вводить различные функции, связанные со сторонами и углами прямоугольного треугольника. Таким образом, в Индии было положено начало тригонометрии как учению о тригонометрических величинах.

Индийские учёные пользовались различными тригонометрическими соотношениями, в том числе и теми, которые в современной форме выражаются как

sin ²α + cos ²α = 1

sin = cos (90-)

sin () = sin cos cos sin

Индийцы также знали формулы для кратных углов sin n, cos n, где n = 2,3,4,5.

Тригонометрия необходима для астрономических расчётов, которые оформляются в виде таблиц. Первая таблица синусов имеется в «Сурья-сиддханте» и у Ариабхаты. Позднее учёные составили более подробные таблицы: например, Бхаскара приводит таблицу синусов через 1°.

Южноиндийские математики в 16 веке добивались больших успехов в области суммирования бесконечных числовых рядов. По-видимому, они занимались этими исследованиями, когда искали способы вычисления более точных значений числа π. Никаланта словесно приводит правила разложения арктангенса в бесконечный степенной ряд. А в анонимном трактате «Каранападдхати» («Техника вычислений») даны правила разложения синуса и косинуса в бесконечные степенные ряды. Нужно сказать, что в Европе к подобным результатам подошли лишь в 17-18 вв. Так, ряды для синуса и косинуса вывел Исаак Ньютон около 1666 г., а ряд арктангенса был найден Дж. Грегори в 1671 г. и Г. В. Лейбницем в 1673 г.

В 8 в. Учёные стран Ближнего и Среднего Востока познакомились с трудами индийских математиков и астрономов и перевели их на арабский язык. В середине 9 века среднеазиатский учёный аль-Хорезми написал сочинение «Об индийском счёте». После того как арабские трактаты были переведены на латынь, многие идеи индийских математиков стали достоянием европейской, а затем и мировой науки.

Практическая часть:

Составьте сообщение об истории тригонометрии, основываясь на информации данной в теоретической части.

Литература:

1. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования / М.И. Башмаков. -М.: Издательский центр «Академия», 2010 г.

Самостоятельная работа № 8.

Решение тригонометрических уравнений

Цель занятия: закрепить навыки решения тригонометрических уравнений

Теоретическая часть:

Таблица значений синуса, косинуса, тангенса, котангенса произвольного угла

радианы

sin

cos

_-1

tg

-

ctg

-

-

радианы

sin

cos

tg

-

ctg

-

Основные тригонометрические тождества:

Формулы сложения:

Формулы суммы и разности синусов (косинусов):

Формулы двойного аргумента:

Формулы половинного аргумента:

Формулы приведения:

Аргумент

Функция

sin

cos

tg

ctg

- sin

cos

- tg

- ctg

cos

- sin

- ctg

- tg

cos

sin

ctg

tg

- sin

- cos

tg

ctg

sin

- cos

- tg

- ctg

- cos

sin

- ctg

- tg

- cos

- sin

ctg

tg

sin

cos

tg

ctg

- sin

cos

- tg

- ctg

Тригонометрические уравнения:

Арксинусом числа а называется такое число из отрезка , синус которого равен а.

Пример № 1

Ответ:

Пример № 2

Ответ:

Арккосинусом числа а называется такое число из отрезка [0;] , косинус которого равен а .

Пример № 3

Ответ:

Пример № 4

Ответ:

Арктангенсом числа а называется такое число из интервала, тангенс которого равен а.

Пример № 5

Ответ:

Пример № 6

Ответ:

Арккотангенсом числа а называется такое число из интервала (0; ), котангенс которого равен а.

Пример № 7

Ответ:

Пример № 8

Arcctg (-1)=

Ответ:

sin x = a

при >1 решений нет, так как 1.

Пример № 9

sin x = 2

>1

Ответ: решений нет.

при <1 , x = (-1)arcsin a+

Пример № 10

Ответ:

Частные случаи:

при а=0 , x = n, n Z

Пример № 11

sinx=0

Ответ x=n, n Z

при a=1 , sinx =1 ,

Пример № 12

sin x = 1

Ответ: x = +2n , n Z

при а = - 1 , sin x = - 1 , x = -+ 2n , n Z

Пример № 13

sin x = - 1

Ответ: x = - + 2n , n Z

cos x = a

при решений нет

Пример № 14

cosx = 3

Ответ: решений нет.

при <1

Пример № 15

cosx=

Ответ:

Частные случаи:

при

Пример № 16

сos x = 0

Ответ:

при = 1 , x = 2n , n Z

Пример № 17

сos x = 1

Ответ: x = 2n , n Z

при а = - 1 , x = + 2n , n Z

Пример № 18

сos x = -1

Ответ : x = + 2 n

tgx=a , x=arctga + n , n Z

Пример № 19

tgx=1

x=arctg1 + n, n Z

x = + n, n Z

Ответ: x = + n , n Z

ctgx = a, x=arcctga + n , n Z

Пример № 20

ctgx=

x=arctg+ n , n Z

x=+ n , n Z

Ответ: x=+ n , n Z

Контрольные вопросы:

1. Что называется арксинусом числа?

2. Что называется арккосинусом числа?

3. Что называется арктангенсом числа?

4. Что называется арккотангенсом числа?

Практическая часть:

1. Решите уравнение: 2 sin x - cos 2x = 0

2. Решите уравнение: sin (- cos (=2

3.

4.

5.

6.

7.

Литература:

1. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования / М.И. Башмаков. -М.: Издательский центр «Академия», 2010 г.

2. Алгебра и начала анализа: учебник для 10-11 кл. сред. шк. / А.Н. Колмогоров и др. - М.: Просвещение, 2009 г.

Самостоятельная работа № 9.

Построение графиков функций, заданных различными способами

Цель занятия: освоить построение графиков функций, заданных различными способами

Теоретическая часть:

Во многих случаях графики функций могут быть построены путем некоторых преобразований уже известных графиков других функций более простого вида.

График функций вида: y=Af(x+b)+B

может быть получен из графика функций y=f(x) при помощи следующих геометрических преобразований:

- осевой симметрии относительно оси 0X;

- осевой симметрии относительно оси 0Y;

- центральной симметрии относительно начала координат точки 0;

- параллельного переноса (сдвига) вдоль оси 0X;

- параллельного переноса (сдвига) вдоль оси 0Y;

- растяжения (или сжатия) по направлению оси 0X;

- растяжения (или сжатия) по направлению оси 0Y;

Отметим, что:

- при осевой симметрии относительно оси 0X точка (x; y) переходит в точку (x; -y);

- при осевой симметрии относительно оси 0Y точка (x; y) переходит в точку (-x; y);

- при центральной симметрии относительно начала координат (x; y) переходит в точку (-x; -y);

- при параллельном переносе вдоль оси 0X точка (x; y) переходит в точку (x+a; y), где а - некоторое число при этом перенос происходит «вправо», если а>0, и «влево», если а<0;

- при параллельном переносе вдоль оси 0Y точка (x; y) переходит в точку (x; y+b), где b - некоторое число при этом перенос происходит «вверх», если b>0, и «вниз», если b<0;

- при растяжении (сжатии) в p раз (p>0, p1) вдоль оси 0X относительно 0Y точка (x; y) переходит в точку (px; y);

- при растяжении (сжатии) в q раз (q>0, q1) вдоль оси 0Y относительно 0X точка (x; y) переходит в точку (x; qy);

Применительно к графикам функций эти свойства дают те конкретные геометрические преобразования, использование которых позволяет из известного графика функции y=f(x) строить графики других функций.

Пример 1. График функции y=4x² получается из графика функции y= x² растяжением последнего в 4 раза вдоль оси 0Y относительно оси 0X. Переписав 4x² в виде (2x)² , замечаем, что график функции y= x² можно получить из графика функции y= x² сжатием последнего в 2 раза вдоль оси 0X относительно оси 0Y .

Пример 2. График функции y= 2^x-3 получается из графика y= 2^x при помощи параллельного переноса его вдоль оси 0X вправо на отрезок длины 3. Переписав 2^x-3 в виде(1/8)*2^x, замечаем, что график функции y=(1/8)*2^x можно получить из графика функции y=2^xсжатием последнего в 8 раз вдоль оси 0X

Контрольные вопросы:

1. Что называют графиком функции?

2. Дайте определение понятиям: область определения и значения функции?

3. Как осуществить построение графика функции f(x)+b?

Практическая часть:

постройте графики функций с помощью параллельного переноса и растяжения.

1. y = tg (2x+)

2. y = 2 tg x-1

3. y = tgx

4. y = ctg 3x - 1

5. y= cos (+2x)

6. y = -sin (4x+)

7. y = tg (x+)

8. y = 2 tg x -3

9. y = tgx

10. y = ctg 3x

Литература:

1. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования / М.И. Башмаков. -М.: Издательский центр «Академия», 2010 г.

2. Алгебра и начала анализа: учебник для 10-11 кл. сред. шк. / А.Н. Колмогоров и др. - М.: Просвещение, 2009 г.

Самостоятельная работа № 10.

Применение геометрических преобразований при построении графиков

Цель занятия: закрепить умение построения графиков функций

Теоретическая часть:

Во многих случаях графики функций могут быть построены путем некоторых преобразований уже известных графиков других функций более простого вида.

График функций вида: y=Af(x+b)+B

может быть получен из графика функций y=f(x) при помощи следующих геометрических преобразований:

- осевой симметрии относительно оси 0X;

- осевой симметрии относительно оси 0Y;

- центральной симметрии относительно начала координат точки 0;

- параллельного переноса (сдвига) вдоль оси 0X;

- параллельного переноса (сдвига) вдоль оси 0Y;

- растяжения (или сжатия) по направлению оси 0X;

- растяжения (или сжатия) по направлению оси 0Y;

Отметим, что:

- при осевой симметрии относительно оси 0X точка (x; y) переходит в точку (x; -y);

- при осевой симметрии относительно оси 0Y точка (x; y) переходит в точку (-x; y);

- при центральной симметрии относительно начала координат (x; y) переходит в точку (-x; -y);

- при параллельном переносе вдоль оси 0X точка (x; y) переходит в точку (x+a; y), где а - некоторое число при этом перенос происходит «вправо», если а>0, и «влево», если а<0;

- при параллельном переносе вдоль оси 0Y точка (x; y) переходит в точку (x; y+b), где b - некоторое число при этом перенос происходит «вверх», если b>0, и «вниз», если b<0;

- при растяжении (сжатии) в p раз (p>0, p1) вдоль оси 0X относительно 0Y точка (x; y) переходит в точку (px; y);

- при растяжении (сжатии) в q раз (q>0, q1) вдоль оси 0Y относительно 0X точка (x; y) переходит в точку (x; qy);

Применительно к графикам функций эти свойства дают те конкретные геометрические преобразования, использование которых позволяет из известного графика функции y=f(x) строить графики других функций.

Пример 1. График функции y=4x² получается из графика функции y= x² растяжением последнего в 4 раза вдоль оси 0Y относительно оси 0X. Переписав 4x² в виде (2x)² , замечаем, что график функции y= x² можно получить из графика функции y= x² сжатием последнего в 2 раза вдоль оси 0X относительно оси 0Y .

Пример 2. График функции y= 2^x-3 получается из графика y= 2^x при помощи параллельного переноса его вдоль оси 0X вправо на отрезок длины 3. Переписав 2^x-3 в виде(1/8)*2^x, замечаем, что график функции y=(1/8)*2^x можно получить из графика функции y=2^xсжатием последнего в 8 раз вдоль оси 0X

Контрольные вопросы:

1. Что называют графиком функции?

2. Дайте определение понятиям: область определения и значения функции?

3. Как осуществить построение графика функции f(x)+b?

Практическая часть:

постройте графики функций с помощью параллельного переноса и растяжения.

1. y = tg (x+)

2. y = 2 tg x -3

3. y = tgx

4. y = ctg 3x

5. y= cos (+x)

6. y = -sin (2x+)

7. y = 4tg (x+)+1

8. y = 2 tg 3x-9

9. y = tgx -8

10. y = ctg x - 1

11. y= cos (+5x)

12. y = -sin (10x+)

Литература:

1. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования / М.И. Башмаков. -М.: Издательский центр «Академия», 2010 г.

2. Алгебра и начала анализа: учебник для 10-11 кл. сред. шк. / А.Н. Колмогоров и др. - М.: Просвещение, 2009 г.

Самостоятельная работа № 11.

Изготовление геометрических тел

Цель занятия: научить изготовлению геометрических тел из подручных материалов

Теоретическая часть:

Многогранник-это тело, граница которого состоит из кусков плоскостей (многоугольников). Эти многоугольники называются гранями, их стороны - рёбрами, их вершины - вершинами многогранника. Отрезки, соединяющие две вершины и не лежащие на одной грани, называются диагоналями многогранника. Многогранник - выпуклый, если все его диагонали расположены внутри него.

Призма - это многогранник, две грани которой (основания призмы) - равные многоугольники с соответственно параллельными сторонами, а остальные грани- параллелограммы, плоскости которых параллельны прямой. Параллелограммы называются боковыми гранями; рёбра называются боковыми рёбрами. Высота призмы - это любой перпендикуляр, опущенный из любой точки основания на плоскость другого основания. В зависимости от формы многоугольника, лежащего в основании, призма может быть соответственно: треугольной, четырёхугольной, пятиугольной, шестиугольной и т.д. Если боковые рёбра призмы перпендикулярны к плоскости основания, то такая призма называется прямой; в противном случае - это наклонная призма. Если в основании прямой призмы лежит правильный многоугольник, то такая призма также называется правильной.

Параллелепипед - это призма, основания которой параллелограммы. Таким образом, параллелепипед имеет шесть граней и все они - параллелограммы. Противоположные грани попарно равны и параллельны. У параллелепипеда четыре диагонали; они все пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам. Если четыре боковые грани параллелепипеда - прямоугольники, то он называется прямым. Прямой параллелепипед, у которого все шесть граней - прямоугольники, называется прямоугольным. Диагональ прямоугольного параллелепипеда d и его рёбра a, b, c связаны соотношением: d ² = a ²+ b ² + c ². Прямоугольный параллелепипед, все грани которого квадраты, называется кубом. Все рёбра куба равны.

Пирамида - это многогранник, у которого одна грань (основание пирамиды) - это произвольный многоугольник, а остальные грани (боковые грани) - треугольники с общей вершиной S, называемой вершиной пирамиды. Перпендикуляр SO, опущенный из вершины пирамиды на её основание, называется высотой пирамиды. В зависимости от формы многоугольника, лежащего в основании, пирамида может быть соответственно: треугольной, четырёхугольной, пятиугольной, шестиугольной и т.д. Треугольная пирамида является тетраэдром (четырёхгранником), четырёхугольная - пятигранником и т.д. Пирамида называется правильной, если в основании лежит правильный многоугольник, а её высота падает в центр основания. Все боковые рёбра правильной пирамиды равны; все боковые грани - равнобедренные треугольники. Высота боковой грани называется апофемой правильной пирамиды.

Если провести сечение, параллельное основанию пирамиды, то тело, заключённое между этими плоскостями и боковой поверхностью, называется усеченной пирамидой. Параллельные грани называются основаниями; расстояние между ними - высотой. Усечённая пирамида называется правильной, если пирамида, из которой она была получена - правильная. Все боковые грани правильной усечённой пирамиды - равные равнобочные трапеции. Высота боковой грани называется апофемой правильной усечённой пирамиды.

Контрольные вопросы:

1. Что называется призмой?

2. Что называется правильной призмой?

3. Что называется прямой призмой?

4. Дайте определение многограннику.

5. Дайте определение параллелепипеду.

6. Охарактеризуйте пирамиду?

7. В каком случае пирамида называется усеченной?

8. Дайте определение апофемы.

Практическая часть:

Изготовьте из любого материала фигуру по выбору: призма, прямая призма, правильная призма, параллелепипед, прямой параллелепипед, куб, пирамида, усеченная пирамида.

Литература:

1. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования / М.И. Башмаков. -М.: Издательский центр «Академия», 2010 г.

Самостоятельная работа № 12.

Изготовление геометрических тел

Цель занятия: научить изготовлению геометрических тел из подручных материалов

Теоретическая часть:

Многогранник называется правильным, если все его грани - равные между собой правильные многоугольники и в каждой его вершине сходится одно и то же число граней. Известно только 5 правильных многогранников. Правильные многогранники следующие:

- тетраэдр ( 4 грани, рис.1 );

- куб ( 6 граней, рис.2 )

- октаэдр ( 8 граней, рис.3 );

- додекаэдр ( 12 граней, рис.4);

- икосаэдр ( 20 граней, рис.5 ).

Контрольные вопросы:

1. Какой многогранник называется правильным?

2. Сколько граней у тетраэдра?

3. Сколько граней у куба?

4. Сколько граней у октаэдра?

5. Сколько граней у додекаэдра?

6. Сколько граней у икосаэдра?

Практическая часть:

Изготовьте из любого материала фигуру по выбору: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.

Литература:

1. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования / М.И. Башмаков. -М.: Издательский центр «Академия», 2010 г.

Самостоятельная работа № 13.

Изготовление геометрических тел

Цель занятия: научить изготовлению геометрических тел из подручных материалов

Теоретическая часть:

Конус - тело, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки (вершины конуса) и проходящих через плоскую поверхность. Иногда конусом называют часть такого тела, полученную объединением всех отрезков, соединяющих вершину и точки плоской поверхности (последнюю в таком случае называют основанием конуса, а конус называют опирающимся на данное основание). Так же можно сказать что это тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. Отрезок, соединяющий вершину и границу основания, называется образующей конуса. Объединение образующих конуса называется образующей (или боковой) поверхностью конуса. Отрезок, опущенный перпендикулярно из вершины на плоскость основания (а также длина такого отрезка), называется высотой конуса. Если основание конуса имеет центр симметрии (например, является кругом или эллипсом) и ортогональная проекция вершины конуса на плоскость основания совпадает с этим центром, то конус называется прямым. При этом прямая, соединяющая вершину и центр основания, называется осью конуса. Косой (наклонный) конус - конус, у которого ортогональная проекция вершины на основание не совпадает с его центром симметрии. Круговой конус - конус, основание которого является кругом. Прямой круговой конус (часто его называют просто конусом) можно получить вращением прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей катет (эта прямая представляет собой ось конуса. Часть конуса, лежащая между основанием и плоскостью, параллельной основанию и находящейся между вершиной и основанием, называется усечённым конусом.

В окружающей нас действительности встречается много предметов, имеющих форму цилиндра, например ведро, консервная банка, пенал, кусок проволоки круглого сечения и т. д. Цилиндр может быть образован вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. Цилиндр имеет два основания, которые являются кругами, и боковую поверхность, которая называется цилиндрической поверхностью. Если боковую поверхность цилиндра развернуть и положить на плоскость, то получим прямоугольник. Развёртка полной поверхности цилиндра состоит из прямоугольника, длина которого равна длине окружности основания цилиндра, а высота - высоте цилиндра и двух кругов.

Контрольные вопросы:

1. Дайте определение конуса.

2. Дайте определение цилиндра.

Практическая часть:

Изготовьте из любого материала фигуру по выбору: конус, цилиндр

Литература:

1. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования / М.И. Башмаков. -М.: Издательский центр «Академия», 2010 г.

Самостоятельная работа № 14.

Изготовление геометрических тел

Цель занятия: научить изготовлению геометрических тел из подручных материалов

Теоретическая часть:

Конус - тело, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки (вершины конуса) и проходящих через плоскую поверхность. Иногда конусом называют часть такого тела, полученную объединением всех отрезков, соединяющих вершину и точки плоской поверхности (последнюю в таком случае называют основанием конуса, а конус называют опирающимся на данное основание). Так же можно сказать что это тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. Отрезок, соединяющий вершину и границу основания, называется образующей конуса. Объединение образующих конуса называется образующей (или боковой) поверхностью конуса. Отрезок, опущенный перпендикулярно из вершины на плоскость основания (а также длина такого отрезка), называется высотой конуса. Если основание конуса имеет центр симметрии (например, является кругом или эллипсом) и ортогональная проекция вершины конуса на плоскость основания совпадает с этим центром, то конус называется прямым. При этом прямая, соединяющая вершину и центр основания, называется осью конуса. Косой (наклонный) конус - конус, у которого ортогональная проекция вершины на основание не совпадает с его центром симметрии. Круговой конус - конус, основание которого является кругом. Прямой круговой конус (часто его называют просто конусом) можно получить вращением прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей катет (эта прямая представляет собой ось конуса. Часть конуса, лежащая между основанием и плоскостью, параллельной основанию и находящейся между вершиной и основанием, называется усечённым конусом.

В окружающей нас действительности встречается много предметов, имеющих форму цилиндра, например ведро, консервная банка, пенал, кусок проволоки круглого сечения и т. д. Цилиндр может быть образован вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. Цилиндр имеет два основания, которые являются кругами, и боковую поверхность, которая называется цилиндрической поверхностью. Если боковую поверхность цилиндра развернуть и положить на плоскость, то получим прямоугольник. Развёртка полной поверхности цилиндра состоит из прямоугольника, длина которого равна длине окружности основания цилиндра, а высота - высоте цилиндра и двух кругов.

Контрольные вопросы:

1. Дайте определение конуса.

2. Дайте определение цилиндра.

Практическая часть:

Изготовьте из любого материала фигуру по выбору: конус, цилиндр, усеченный конус

Литература:

1. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования / М.И. Башмаков. -М.: Издательский центр «Академия», 2010 г.

Самостоятельная работа № 15.

Нахождение производных сложных функций вида f(ax+d)

Цель занятия: закрепить навыки нахождения производной функции

Теоретическая часть:

Производной функции f(x) в точке х = х₀ называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует.

Если функция f имеет производную в точке x, а функция g имеет производную в точке у = f(x), то сложная функция h (x) = g (f ( x)) также имеет производную в точке x, причем ( x) = (f (x)) ( x)

Основные правила дифференцирования:

Обозначим f(x) = u, g(x) = v- функции, дифференцируемые в точке х.

1) (u v) = u v

2) (uv) = uv + uv

3), если v 0

Производные основных элементарных функций.

1)С = 0; 9)

2)(x^m) = mx^m-1; 10)

3) 11)

4) 12)

5) 13)

6) 14)

7) 15)

8) 16)

17) (lnx)= ,

Пример № 1. Найти производную функции.

Сначала преобразуем данную функцию:

Пример № 2. Найти производную функции

Контрольные вопросы:

1. Дайте определение понятию «производная функции».

2. Перечислите основные правила дифференцирования.

3. Продолжите (cos x = ?

4. Продолжите (sin x = ?

5. Продолжите (x = ?

Практическая часть:

Найдите производную функции:

1. f(x) = x + 3x

2. f(x) = x(4x + 2x -x)

3. f(x) = (2x - 2x)

4. f(x) = (2x - 2) (1 - x)

5. f(x) =

6. f(x) =

7. f(x) = x+ - 4

8. f(x) = (x - 8)

9. f(x) = (x + 5)+ sinx

10. f(x) = + cos 2x sin x

11. f(x) = sin 5x sin 3x +2x

12. f(x) = sin - 3

13. f(x) = xsinx

14. f(x) = x + tg (-2x)

15.

16.

17.

18.

19. y = tg (x+)

20. y = 2 tg x -3

21. y = tgx

22. y = ctg 3x

23. y= cos (+x)

24. y = -sin (2x+)

Литература:

1. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования / М.И. Башмаков. -М.: Издательский центр «Академия», 2010 г.

2. Алгебра и начала анализа: учебник для 10-11 кл. сред. шк. / А.Н. Колмогоров и др. - М.: Просвещение, 2009 г.

Самостоятельная работа № 16.

Понятие о производной

Цель занятия: дать представление о производной

Теоретическая часть:

Пусть величина u зависит от аргумента х как u=f(x). Если f(x) была зафиксирована в двух точках значениях аргумента: x₂, x_1, то мы получаем величины u₁=f(x₁), и u₂=f(x₂). Разность двух значений аргумента x₂, x₁ назовём приращением аргумента и обозначим как Δx=x₂-x₁ (следовательно, x₂=x₁+Δx). Если аргумент изменился на Δx=x₂-x_1, то функция изменилась (приросла) как разность двух значений функции u₁=f(x₁), u₂=f(x₂) на величину приращения функции Δf. Записывается обычно так: Δf=u₁-u₂=f(x₂)-f(x₁). Или с учётом что x₂=x₁+Δx, можно записать, что изменение функции равно Δf= f(x₁+Δx)-f(x₁). И это изменение произошло, естественно, на области возможных значений функции x₂ и x_1. Считается, что если величины x₂ и x_1, бесконечно близки по величине друг к другу, тогда Δx=x₂-x_1, - бесконечно мало.

Производной функции f(x) в точке x₀ называется предел отношения приращения функции Δf в этой точке к приращению аргумента Δх, когда последнее стремится к нулю (бесконечно мало). Записывается так:. Нахождение производной называется дифференцированием. Вводится определение дифференцируемой функции: функция f, имеющая производную в каждой точке некоторого промежутка, называется дифференцируемой на данном промежутке.

Физический смысл производной x`(t) от непрерывной функции x(t) в точке t₀ - есть мгновенная скорость изменения величины функции, при условии, что изменение аргумента Δt стремится к нулю.

Если функция f имеет производную в точке x, а функция g имеет производную в точке у = f(x), то сложная функция h (x) = g (f ( x)) также имеет производную в точке x, причем ( x) = (f (x)) ( x)

Основные правила дифференцирования:

Обозначим f(x) = u, g(x) = v- функции, дифференцируемые в точке х.

1) (u v) = u v

2) (uv) = uv + uv

3), если v 0

Производные основных элементарных функций.

1)С = 0; 9)

2)(x^m) = mx^m-1; 10)

3) 11)

4) 12)

5) 13)

6) 14)

7) 15)

8) 16)

17) (lnx)= ,

Пример № 1. Найти производную функции.

Сначала преобразуем данную функцию:

Пример № 2. Найти производную функции

Контрольные вопросы:

6. Дайте определение понятию «производная функции».

7. Перечислите основные правила дифференцирования.

Практическая часть:

Подготовить сообщение о производной опираясь на теоретическую часть

Литература:

1. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования / М.И. Башмаков. -М.: Издательский центр «Академия», 2010 г.

2. Алгебра и начала анализа: учебник для 10-11 кл. сред. шк. / А.Н. Колмогоров и др. - М.: Просвещение, 2009 г.

Самостоятельная работа № 17.

Вычисление объема изготовленного геометрического тела

Цель занятия: закрепить навык вычисления объема изготовленного тела

Теоретическая часть:

Многогранник-это тело, граница которого состоит из кусков плоскостей (многоугольников). Эти многоугольники называются гранями, их стороны - рёбрами, их вершины - вершинами многогранника. Отрезки, соединяющие две вершины и не лежащие на одной грани, называются диагоналями многогранника. Многогранник - выпуклый, если все его диагонали расположены внутри него.

Призма - это многогранник, две грани которой (основания призмы) - равные многоугольники с соответственно параллельными сторонами, а остальные грани- параллелограммы, плоскости которых параллельны прямой. Параллелограммы называются боковыми гранями; рёбра называются боковыми рёбрами. Высота призмы - это любой перпендикуляр, опущенный из любой точки основания на плоскость другого основания. В зависимости от формы многоугольника, лежащего в основании, призма может быть соответственно: треугольной, четырёхугольной, пятиугольной, шестиугольной и т.д. Если боковые рёбра призмы перпендикулярны к плоскости основания, то такая призма называется прямой; в противном случае - это наклонная призма. Если в основании прямой призмы лежит правильный многоугольник, то такая призма также называется правильной.

Параллелепипед - это призма, основания которой параллелограммы. Таким образом, параллелепипед имеет шесть граней и все они - параллелограммы. Противоположные грани попарно равны и параллельны. У параллелепипеда четыре диагонали; они все пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам. Если четыре боковые грани параллелепипеда - прямоугольники, то он называется прямым. Прямой параллелепипед, у которого все шесть граней - прямоугольники, называется прямоугольным. Диагональ прямоугольного параллелепипеда d и его рёбра a, b, c связаны соотношением: d ² = a ²+ b ² + c ². Прямоугольный параллелепипед, все грани которого квадраты, называется кубом. Все рёбра куба равны.

Пирамида - это многогранник, у которого одна грань (основание пирамиды) - это произвольный многоугольник, а остальные грани (боковые грани) - треугольники с общей вершиной S, называемой вершиной пирамиды. Перпендикуляр SO, опущенный из вершины пирамиды на её основание, называется высотой пирамиды. В зависимости от формы многоугольника, лежащего в основании, пирамида может быть соответственно: треугольной, четырёхугольной, пятиугольной, шестиугольной и т.д. Треугольная пирамида является тетраэдром (четырёхгранником), четырёхугольная - пятигранником и т.д. Пирамида называется правильной, если в основании лежит правильный многоугольник, а её высота падает в центр основания. Все боковые рёбра правильной пирамиды равны; все боковые грани - равнобедренные треугольники. Высота боковой грани называется апофемой правильной пирамиды.

Если провести сечение, параллельное основанию пирамиды, то тело, заключённое между этими плоскостями и боковой поверхностью, называется усеченной пирамидой. Параллельные грани называются основаниями; расстояние между ними - высотой. Усечённая пирамида называется правильной, если пирамида, из которой она была получена - правильная. Все боковые грани правильной усечённой пирамиды - равные равнобочные трапеции. Высота боковой грани называется апофемой правильной усечённой пирамиды.

Объемы многогранников:

1. Объем призмы:

2. Объем параллелепипеда:

3.Объем пирамиды:

4. Объем усеченной пирамиды:

Пример № 1:

Три ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 0,5 и 16 см. Найдите ребро равновеликого ему куба.

Решение:

Объем параллелепипеда:

см

Объем параллелепипеда равен объему куба.

8=

Контрольные вопросы:

1. Как вычислить объем призмы?

2. Как вычислить объем параллелепипеда?

3. Как вычислить объем пирамиды?

4. Как вычислить объем усеченной пирамиды?

Практическая часть:

Изготовьте из любого материала фигуру по выбору: призма, прямая призма, правильная призма, параллелепипед, прямой параллелепипед, куб, пирамида, усеченная пирамида и вычислите его объем.

Литература:

1. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования / М.И. Башмаков. -М.: Издательский центр «Академия», 2010 г.

Самостоятельная работа № 18.

Вычисление объема изготовленного геометрического тела

Цель занятия: закрепить навык вычисления объема изготовленного тела

Теоретическая часть:

Конус - тело, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки (вершины конуса) и проходящих через плоскую поверхность. Иногда конусом называют часть такого тела, полученную объединением всех отрезков, соединяющих вершину и точки плоской поверхности (последнюю в таком случае называют основанием конуса, а конус называют опирающимся на данное основание). Так же можно сказать что это тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. Отрезок, соединяющий вершину и границу основания, называется образующей конуса. Объединение образующих конуса называется образующей (или боковой) поверхностью конуса. Отрезок, опущенный перпендикулярно из вершины на плоскость основания (а также длина такого отрезка), называется высотой конуса. Если основание конуса имеет центр симметрии (например, является кругом или эллипсом) и ортогональная проекция вершины конуса на плоскость основания совпадает с этим центром, то конус называется прямым. При этом прямая, соединяющая вершину и центр основания, называется осью конуса. Косой (наклонный) конус - конус, у которого ортогональная проекция вершины на основание не совпадает с его центром симметрии. Круговой конус - конус, основание которого является кругом. Прямой круговой конус (часто его называют просто конусом) можно получить вращением прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей катет (эта прямая представляет собой ось конуса. Часть конуса, лежащая между основанием и плоскостью, параллельной основанию и находящейся между вершиной и основанием, называется усечённым конусом.

В окружающей нас действительности встречается много предметов, имеющих форму цилиндра, например ведро, консервная банка, пенал, кусок проволоки круглого сечения и т. д. Цилиндр может быть образован вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. Цилиндр имеет два основания, которые являются кругами, и боковую поверхность, которая называется цилиндрической поверхностью. Если боковую поверхность цилиндра развернуть и положить на плоскость, то получим прямоугольник. Развёртка полной поверхности цилиндра состоит из прямоугольника, длина которого равна длине окружности основания цилиндра, а высота - высоте цилиндра и двух кругов.

Объемы тел вращения:

1. Объем цилиндра:

2. Объем конуса:

3. Объем усеченного конуса:

4. Объем шара:

Пример № 1

Вычислите объем цилиндра, если известно что его радиус равен 2 см, а высота 8 см.

Решение:

Объем цилиндра:

Контрольные вопросы:

3. Как вычислить объем цилиндра?

4. Как вычислить объем конуса?

5. Как вычислить объем усеченного конуса?

6. Как вычислить объем шара?

Практическая часть:

Изготовьте из любого материала фигуру по выбору: конус, цилиндр и вычислите его объем.

Литература:

1. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования / М.И. Башмаков. -М.: Издательский центр «Академия», 2010 г.

Самостоятельная работа № 19.

Вычисление вероятности события

Цель занятия: освоить методы вычисления вероятностей событий

Теоретическая часть:

Вероятность события А равна отношению числа случаев благоприятствующих событию А к числу всех равновозможных из несовместных случаев: P(A)=.

Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий:

P(A+B) = P(A) + P(B)

Условной вероятностью P(A/B) события A относительно события B, так если вероятность события B не равна нулю, называется отношение вероятности произведения событий A и B к вероятности события B:

Вероятность совместного наступления двух событий равна вероятности одного из них умноженной на условную вероятность другого:

Пример № 1. В коробке 12 шаров, из них 5 белых и 7 черных. Из коробки вынимают два шара. Найти вероятность того, что оба шара окажутся белыми.

Решение:

A - событие, состоящее в том, что первый шар белый

B- второй шар белый

Вычислим: P(A)=

Вычислим P(B/A). Найдем вероятность того, что второй шар будет белый при условии, что первый шар белый. P(B/A)=

Таким образом,

Контрольные вопросы:

1. Дайте определение вероятности событий

2. Дайте определение условной вероятности

3. Напишите формулу сложения вероятностей

4. Напишите формулу умножения вероятностей

Практическая часть:

1. Вероятность получения выпускником одного места работы равна 0,3, вероятность получения другого места работы равна 0,1. Какова вероятность получения хотя бы одного места работы?

2. Из трех маршрутов трамваев № 8, № 10 и № 15 для служащего попутными являются маршруты № 8 и №10. Вычислите вероятность того, что к остановке первым подойдет трамвай попутного для него номера, если по линиям маршрутов № 8, № 10 и № 15 курсируют соответственно 7, 9 и 12 вагонов. Протяженность маршрутов считается одинаковой.

3. Консультационная фирма претендует на два заказа от двух крупных корпораций. Эксперты фирмы считают, что вероятность получения заказа в первой корпорации равна 0,45, а у второй равна 0,9. Какова вероятность, что фирма получит оба заказа?

4. В коробке 24 шара, из них 10 белых и 14 черных. Из коробки вынимают два шара. Найти вероятность того, что оба шара окажутся белыми.

5. У продавца на рынке 60 арбузов, из которых 50 спелых. Покупатель выбирает два арбуза. Какова вероятность, что выбранные арбузы спелые?

Литература:

1. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования / М.И. Башмаков. -М.: Издательский центр «Академия», 2010 г.

Самостоятельная работа № 20.

Решение рациональных, иррациональных, показательных и тригонометрических уравнений и систем

Цель занятия: освоить методы решения рациональных, иррациональных, показательных и тригонометрических уравнений и систем

Теоретическая часть:

Дробно - рациональные уравнения:

В уравнение входят дробные выражения, например:
; и т.д.

Схема решения:

- переносим все дроби в одну сторону приравнивая к нулю;

- находим общий знаменатель дробей;

- выписываем числитель дроби, приравниваем к нулю;

- решаем уравнение;

- если корень образует в нуль общий знаменатель, то этот корень отбрасывается;

- проверка.

Пример №1:
Решите уравнение:

-11x + 2 = 0

-11x = -2

Проверка

Ответ:

Иррациональные уравнения:

уравнение, в котором под знаком корня содержится переменная, называют иррациональным.

Схема решения уравнения:

- возведём обе части уравнения в ту степень в которой находиться корень;

- решим уравнение;

- проверим корни уравнения.

Пример № 2.

= 5-x

() = (5-x)

x-3=5-25x+x

x+10x-x-25-3=0

-x+11x-28=0

x-11x+28=0

D=121-112=9

=

=7; =4

Проверка

=5-x

=5-7

=-2

2-2

x=7 не является корнем уравнения

=5-4

1=1

x=4 является корнем уравнения

Ответ: x = 4

Показательные уравнения:

Функция вида , где а - постоянное число, a >0 и a 1 , называются показательной функцией. Число а называют основанием показательной функции.

Схема решения.

=b, b>0

=

x=m

Пример № 3

Решим уравнение.

Преобразуем

Функция y=непрерывная и монотонная, значит:

D=-4ac

D= = 16-12=4

=

;

;

;

Ответ:

Свойства показательных функций D(f)=R - определена на всей числовой оси

E(f)=(0;)= R + показательная функция принимает значение из множества положительных чисел R+

Используя свойства показательных функций можно упростить уравнение и привести к виду a=b

Пример № 4

Решите уравнение

Смотрите свойство 3

Смотрите свойство 4

х=3

Ответ: х=3

Тригонометрические уравнения:

Арксинусом числа а называется такое число из отрезка , синус которого равен а.

Пример № 5

Ответ:

Пример № 6

Ответ:

Арккосинусом числа а называется такое число из отрезка [0;] , косинус которого равен а .

Пример № 7

Ответ:

Пример № 8

Ответ:

Арктангенсом числа а называется такое число из интервала, тангенс которого равен а.

Пример № 9

Ответ:

Пример № 10

Ответ:

Арккотангенсом числа а называется такое число из интервала (0;), котангенс которого равен а.

Пример № 11

Ответ:

Пример № 12

arcctg (-1)=

Ответ:

sin x = a

при >1 решений нет, так как 1.

Пример № 13

sin x = 2

>1

Ответ: решений нет.

при <1 , x = (-1)arcsin a+

Пример № 14

Ответ:

Частные случаи:

при а=0 , x = n, n Z

Пример № 15

sinx=0

Ответ x=n, n Z

при a=1 , sinx =1 ,

Пример № 16

sin x = 1

Ответ: x = +2n , n Z

при а = - 1, sin x = - 1, x = -+ 2n , n Z

Пример № 17

sin x = - 1

Ответ: x = - + 2n , n Z

cos x = a

при решений нет

Пример № 18

cosx = 3

Ответ: решений нет.

при <1

Пример № 19

cosx=

Ответ:

Частные случаи:

при

Пример № 20

сos x = 0

Ответ:

при = 1 , x = 2n , n Z

Пример № 21

сos x = 1

Ответ: x = 2n , n Z

при а = - 1 , x = + 2n , n Z

Пример № 22

сos x = -1

Ответ : x = + 2n

tgx=a , x=arctga + n , n Z

Пример № 23

tgx=1

x=arctg1 + n, n Z

x = + n, n Z

Ответ: x = + n , n Z

ctgx = a, x=arcctga + n , n Z

Пример № 24

ctgx=

x=arctg+ n , n Z

x=+ n , n Z

Ответ: x=+ n , n Z

Контрольные вопросы:

5. Что называется арксинусом числа?

6. Что называется арккосинусом числа?

7. Что называется арктангенсом числа?

8. Что называется арккотангенсом числа?

Практическая часть:

Решите уравнения:

1. 2 sin x - cos 2x = 0

2. 7sin x = 3 cos 2x

3.

4.

5. 3(x-2)-5=4-(5x-1)

6.

7.

8.

_9.

_10.

_11.

_12.

_13.

_14.

_15. x³+4 = 0

16. 7-2(3-x)=4(x-1)+5

Решите системы уравнений:

1.

2.

3.

4.

Литература:

1. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования / М.И. Башмаков. -М.: Издательский центр «Академия», 2010 г.

2. Алгебра и начала анализа: учебник для 10-11 кл. сред. шк. / А.Н. Колмогоров и др. - М.: Просвещение, 2009 г.