Методические рекомендации для выполнения практических работ по тема Производная функция

Методические рекомендации

для выполнения практических работ

по теме Производная функции и её приложения.

Цель: сформировать умение находить производные функций, заданных в явном, логарифмическом и параметрическом видах, находить производные сложных функций, знать геометрический смысл производной, применять правило Лопиталя для нахождения пределов.

1. Приращение аргумента и приращение функции

Пусть дана функция . Зафиксируем некоторое значение . Дадим переменной произвольное приращение . В точке функция будет иметь значение . Разность между новым значением функции и ее старым значением называется приращением функции и обозначается . Таким образом, приращением функции называется величина

.

Пример

Пусть , тогда . Найдем :

= .

2. Понятие производной.

Пусть - произвольная функция пере­менной х. Зафиксируем некоторое значение аргумента х и вычислим соответствующее значение функции . Придадим аргументу приращение , получим новое значе­ние и вычислим соответствующее приращение функции . Составим отношение

и рассмотрим предел .

Этот предел называется производной функции у = f(x) в точке х и обозначается у', у'_x , f'(x) или . Таким образом, производной называется предел отношения прираще­ния функции к приращению аргумента, когда приращение аргу­мента стремится к нулю.

Операция нахождения производной функции на­зывается дифференцированием этой функции.

3. Геометрический смысл производной

Пусть функция у = f(x) имеет производную в точке x₀. Тогда к графику функции в точке М₀(x₀, y₀) можно провести касательную, уравнение которой имеет вид

,

В этом уравнении = tg - где - угол наклона касательной к оси Ох.

Рис.2.1

Таким образом, геометрически производная есть угловой коэффициент касатель­ной к кривой в рассматриваемой точке.

4. Физический смысл производной

Пусть точка движется по прямой так, что - путь, пройденный точкой к моменту времени t. Тогда путь, пройденный точкой за промежуток времени t от момента t до момента t+t, равен S = f(t+t)-f(t). В этом случае

есть средняя скорость точки за промежуток времени от t до t+t.

Скоростью точки в данный момент называется предел ее средней скорости за промежуток времени t, т.е.

Из (1.2) и определения производной (1.1) следует, что , т.е. производная от пути по времени при прямолинейном движении есть скорость.

5. Правила вычисление производных

Справедливы следующие формулы, выражаю­щие правила дифференцирования суммы, произведения, частного функций, а также вычисления производной от постоянной величины .

1) Производная постоянной величины равна нулю:

2) Производная суммы равна сумме производных:

.

Пример 1

.

3) Производная произведения:

.

Пример 2

.

4) Постоянную можно выносить за знак производной:

.

Это правило является следствием правила 1) и правила 3).

Пример 3

.

5). Производная частного:

.

Здесь предполагается, что рассматриваемые значения знаменателя не равны нулю.

Пример 4

=

=.

6. Производная сложной функции.

Таблица производных

Пусть где , тогда называется сложной функцией от переменной x. Рассмотрим примеры сложных функций.

Пример 5

, , тогда - сложная функция переменной x.

Пример 6

, , тогда - сложная функция переменной x.

Пример 7

, , тогда - сложная функция переменной x.

Пример 8

, , , тогда - сложная функция переменной t.

Пусть имеет производную по переменной , а - по переменной . Рассмотрим вопрос о нахождении производной сложной функции y(u(x)) по x. Используя определение производной, последовательно получаем

.

Таким образом, если сложную функцию записать в виде цепочки , , то производная от y по x вычисляется по формуле

или

(2.1)

Пример 9

Найти производную функции . Положим , тогда и по формуле (2.1) получаем

.

Пример 10

Найти производную функции .

Решение

.

В таблице производных 2.1 все формулы приведены при условии, что , (в формуле 14 табл. 2.1).

Таблица 2.1

1

8

2

9

3

10

4

11

5

12

6

13

7

14

7. Производные высших порядков

Пусть функция задана на промежутке Х и имеет на нем производную. Производная от производной, если она существует, называется производной второго порядка (второй производной) функции и обозначается , или , , .

Итак, по определению .

Аналогично определяется производная 3-го порядка: Производная от производной (n-1)-го порядка называется про­изводной п-го порядка или п-й производной и обозначается , или .

Таким образом, по определению

или .

Выполнить задания: Найдите производные следующих функций

Ответы

8. Правило Лопиталя

Теорема 2.1. (Теорема Лопиталя). Пусть функции и дифферен­цируемы в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой этой точки, и g'(x) 0 для всех хU(х₀), . Тогда если f(x) = g(x) = 0 (или f(x) = g(x) = ) и существует , то существует и , причем =.

Если отношение в свою очередь представляет собой неопределенность вида или , то правило Лопиталя можно приме­нять второй раз и т. д.

Пример 10

=

= .

Пример 11

.

Пример 12

Найти xlnx.

Решение

Выполнить задания

Найти пределы, используя правило Лопиталя.

№

Задания

Ответы

1)

_-8/3

2)

-5

3)

2

4)

_1/3

5)

_log(4)/3

6)

₃

7