Открытый урок по теме Виды правильных многогранников

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

НАЧАЛЬНОГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ВОРОНЕЖСКОЙ ОБЛАСТИ

«ПРОФЕССИОНАЛЬНЫЙ ЛИЦЕЙ №4 г. ВОРОНЕЖА»

Открытый урок:

«Виды правильных многогранников»

Преподаватель математики

Ролдугина С. А.

Воронеж - 2014

ТЕМА: «Виды правильных многогранников».

Цели урока:

Обучающие: повторить и обобщить теоретический материал

по теме «Многогранники»;

ввести понятие правильного многогранника;

рассмотреть пять видов правильных многогран-

ников;

Развивающие: формирование пространственного воображе-

ния и графической грамотности;

формирование умений обобщать, систематизи-

ровать, видеть закономерности;

развитие монологической речи учащихся;

Воспитательные: воспитание эстетического вкуса;

воспитание умения слушать;

формирование интереса к предмету.

Межпредметные связи: история, биология, химия, география.

Оборудование:

• Мультимедийный проектор.

• Таблица с изображением пяти правильных многогран-

ков.

• Учебник «Геометрия 10-11 класс» - Атанасян Л.С.

Дидактический материал: видео-презентация: «Виды пра-

вильных многогранников»; информационный материал: «Пра-

вильные многогранники».

Раздаточный материал: инструкции по склеиванию правильных многогранников.

Тема: «Виды правильных многогранников».

(слайд 2) Эпиграф

«Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук».

Л. Кэрролл

Ход урока:

1. Организационный момент: сообщение темы урока (слайд 1), сформулировать цели урока (записано на доске).

2. Проверка домашнего задания (2 человека у доски).

3. Изучение нового материала.

Вступительное слово учителя.

На данный момент вы уже имеете представление о таких многогранниках как призма и пирамида. Теперь у вас есть возможность значительно расширить свои знания о многогранниках, вы узнаете о так называемых правильных выпуклых многогранниках. С некоторыми понятиями вы уже знакомы - это многогранники и выпуклые многогранники. Вспомним их (слайд 3).

• Дайте определение многогранника.

• Какой многогранник называется выпуклым?

Вами уже использовались словосочетания «правильные призмы» и «правильные пирамиды». Оказывается, новая комбинация знакомых понятий образует совершенно новое с геометрической точки зрения понятие. Какие же выпуклые многогранники будем называть правильными? Определение (слайд 4).

Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многогранниками с одним и тем лее числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер.

(Слайд 5)

Всего существует пять видов правильных выпуклых многогранников. Их гранями являются правильные треугольники, правильные четырёхугольники (квадраты) и правильные пятиугольники.

Рассмотрим правильные многогранники:

Правильный тетраэдр (рис.1) составлен из четырёх равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трёх треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 180 градусов (слайд 6).

Рис. 1

Рис.2

Правильный октаэдр (рис.2) составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырёх треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине 240 градусов (слайд 7).

Рис.3

Правильный икосаэдр (рис.3) составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 300 градусов (слайд 8).

Рис.4

Куб (гексаэдр) (рис. 4) составлен из шести квадратов. Каждая вершина куба является вершиной трёх квадратов. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 270 градусов (слайд 9).

Рис.5

Правильный додекаэдр (рис. 5) составлен из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трёх правильных пятиугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 324 градуса (слайд 10).

(Слайд 11):

Названия этих многогранников пришли из Древней Греции, и в них указывается число граней:

«эдра» - грань «гетра»- 4 «гекса»- 6 «окта»- 8

«икоса» - 20 «додека» - 12

Вам необходимо запомнить названия этих многогранников, уметь охарактеризовать каждый из них и доказать, что других видов правильных многогранников, кроме перечисленных пяти, нет.

Обращаю внимание на слова Л. Кэрролла, которые являются эпиграфом сегодняшнего урока: «Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук».

О том, как использовали правильные многогранники в своих научных фантазиях учёные, нам расскажут… (Сообщения учащихся)

Сообщение 1. «Правильные многогранники в философской картине мира Платона».

Правильные многогранники иногда называют Платоновыми телами, поскольку они занимают видное место в философской картине мира, разработанной великим мыслителем Древней Греции Платоном (ок. 428 - ок. 348 до н.э.).

Платон считал, что мир строится из четырёх «стихий» - огня, земли, воздуха и воды, а атомы этих «стихий» имеют форму четырёх правильных многогранников. Тетраэдр олицетворял огонь, поскольку его вершина устремлена вверх, как у разгоревшегося пламени; икосаэдр -как самый обтекаемый - воду; куб - самая устойчивая из фигур - землю, а октаэдр - воздух. В наше время эту систему можно сравнить с четырьмя состояниями вещества - твёрдым, жидким, газообразным и пламенным. Пятый многогранник - додекаэдр символизировал весь мир и почитался главнейшим.

Это была одна из первых попыток ввести в науку идею систематизации.

А теперь от Древней Греции перейдём к Европе XVI - XVII вв., когда жил и творил замечательный немецкий астроном, математик Иоганн Кеплер (1571 - 1630).

Сообщение 2. «Кубок Кеплера» (слайд 12).

Представим себя на месте Кеплера. Перед ним различные таблицы - столбики цифр. Это результаты наблюдений движения планет Солнечной системы - как его собственных, так и великих предшественников - астрономов. В этом мире вычислительной работы он хочет найти некоторые закономерности. Иоганн Кеплер, для которого правильные многогранники были любимым предметом изучения, предположил, что существует связь между пятью правильными многогранниками и шестью открытыми к тому времени планетами Солнечной системы. Согласно этому предположению, в сферу орбиты Сатурна можно вписать куб, в который вписывается сфера орбиты Юпитера.

Рис.6. Модель Солнечной системы И. Кеплера

В неё, в свою очередь, вписывается тетраэдр, описанный около сферы орбиты Марса. В сферу орбиты Марса вписывается додекаэдр, в который вписывается сфера орбиты Земли. А она

описана около икосаэдра, в который вписана сфера орбиты Венеры. Сфера этой планеты описана около октаэдра, в который вписывается сфера Меркурия.

Такая модель Солнечной системы (рис. 6) получила название «Космического кубка» Кеплера. Результаты своих вычислений учёный опубликовал в книге «Тайна мироздания». Он считал, что тайна Вселенной раскрыта.

Сегодня можно с уверенностью утверждать, что расстояния между планетами и их число никак не связаны с многогранниками. Конечно, структура Солнечной системы не является случайной, но истинные причины, по которым она устроена так, а не иначе, до сих пор не известны. Идеи Кеплера оказались ошибочными, но без гипотез, иногда самых неожиданных, казалось бы, бредовых, не может существовать наука.

Сообщение 3:(слайд 13).

«Икосяэдро-додекаэдровая структура Земли»

Рис.7. Икосяэдро-додекаэдровая структура Земли

Идеи Платона и Кеплера о связи правильных многогранников с гармоничным устройством мира и в наше время нашли своё продолжение в интересной научной гипотезе, которую в начале 80-х гг. высказали московские инженеры В. Макаров и В. Морозов. Они считают, что ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла, оказывающего воздействие на развитие всех природных процессов, идущих на планете. Лучи этого кристалла, а точнее, его силовое поле, обуславливают икосаэдро-додекаэдровую структуру Земли (рис.7). Она проявляется в том, что в земной коре как бы проступают проекции вписанных в земной шар правильных многогранников: икосаэдра и додекаэдра.

Многие залежи полезных ископаемых тянутся вдоль икосаэдро-додекаэдровой сетки; 62 вершины и середины рёбер многогранников, называемых авторами узлами, обладают рядом специфических свойств, позволяющих объяснить некоторые непонятные явления. Здесь располагаются очаги древнейших культур и цивилизаций: Перу, Северная Монголия, Гаити, Обская культура и другие. В этих точках наблюдаются максимумы и минимумы атмосферного давления, гигантские завихрения Мирового океана. В этих узлах находятся озеро Лох-Несс, Бермудский треугольник. Дальнейшие исследования Земли, возможно, определят отношение к этой научной гипотезе, в которой, как видно, правильные многогранники занимают важное место.

Сообщение 4: (слайд 14).

"Тайная вечеря" С. Дали

Большой интерес к формам правильных многогранников проявляли также скульпторы, архитекторы, художники. Их всех поражало совершенство, гармония многогранников. Леонардо да Винчи (1452 - 1519) увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих полотнах. Сальвадор Дали на картине «Тайная вечеря» изобразил И. Христа со своими учениками на фоне огромного прозрачного додекаэдра.

Учёным достаточно хорошо изучены правильные выпуклые многогранники, доказано, что существует всего пять видов таких многогранников, но сам ли человек их придумал. Скорее всего - нет, он «подсмотрел» их у природы.

Сообщение 5:(слайд 15. «Правильные многогранники и природа».

Рис.8.

Правильные многогранники встречаются в живой природе. Например, скелет одноклеточного организма феодарии по форме напоминает икосаэдр (рис. 8).

Чем же вызвана такая природная геометризация феодарии? По-видимому, тем, что из всех многогранников с тем же числом граней именно икосаэдр имеет наибольший объём при наименьшей площади поверхности. Это свойство помогает морскому организму преодолевать давление водной толщи.

Сообщение 6: «Правильные многогранники и химия».

Правильные многогранники - самые выгодные фигуры. И природа этим широко пользуется. Подтверждением тому служит форма некоторых кристаллов. Взять хотя бы поваренную соль, без которой мы не можем обойтись.

Известно, что она растворима в воде, служит проводником электрического тока, а кристаллы поваренной соли имеют форму куба.

При производстве алюминия пользуются алюминиево-калиевыми кварцами, монокристалл которых имеет форму правильного октаэдра.

Получение серной кислоты, железа, особых сортов цемента не обходится без сернистого колчедана. Кристаллы этого химического вещества имеют форму додекаэдра.

В разных химических реакциях применяется сурьменистый сернокислый натрий - вещество, синтезированное учёными. Кристалл сурьменистого сернокислого натрия имеет форму тетраэдра.

Последний правильный многогранник - икосаэдр передаёт форму кристаллов бора. В своё время бор использовался для создания полупроводников первого поколения.

Благодаря правильным многогранникам открываются не только удивительные свойства геометрических фигур, но и пути познания природной гармонии.

4. Домашнее задание будет сегодня творческим: склеить модели правильных многогранников на выбор из №№ 271-275 (инструкции прилагаются).

5. Подведение итогов.

Прежде чем закончить урок мне хочется рассказать вам притчу.

Шел мудрец, а навстречу ему три человека, которые везли под горячим

солнцем тележки с камнями для строительства храма. Мудрец остановил пер-

вого и спросил: «Что ты делал целый день?» Человек ответил, что возил

проклятые камни. Второй ответил, что он добросовестно выполнял свою

работу. А третий улыбнулся и сказал радостно: «Я принимал участие в

строительстве храма!».

Давайте оценим каждый свою работу сегодня на уроке:

• Кто работал как первый человек?

• Кто работал добросовестно?

• А кто «принимал участие в строительстве храма?»

Литература

• Азевич Л.И. Двадцать уроков гармонии: Гуманитарно-математический курс.
  Школа-Пресс, 1998. (Библиотека журнала «Математика в школе». Вып.7).

• Винниджер. Модели многогранников. М, 1975.

• Геометрия: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений/ Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кардомцев и др.-5-е изд.-М: Просвещение, 1997.

• Гросман С, Тернер Дж. Математика для биологов. М., 1983.

• Кованцов Н.И. Математика и романтика. Киев, 1976.

• Смирнова И.М. В мире многогранников. М., 1990.

• Шафрановский И.И. Симметрия в природе. Л., 1988.