Делова игра: «Эта многогранная производная»

Преподаватель математике ГАПОУ СО «ПАТ» Рыгалова Н.И.

Делова игра: «Эта многогранная производная»

Эпиграф: «Вся современная техника была бы невозможна без математики»

А.Д.Александров

«Ум заключается не только в знании, но и в умении прилагать знания на деле»

Аристотель (384 - 322 гг до н.э.)

Цели занятия:

Образовательные: Способствовать систематизации знаний то теме: «Производная», формировать умение практического использования производной. Стимулировать творческое мышление и инициативу студентов. Повышать интерес студентов к изучению математики

Развивающие: Умение анализировать задачи, эффективно применять изученные методы, приемы и формулы, навыки исследовательской деятельности, синтеза, обобщения: способствовать развитию общения, смысловую память и произвольное внимание.

Воспитательные: Способствовать формированию у студентов чувства коллективизма, ответственность за работу каждого товарища, умений и навыков работы в группе, умение участия в общем диалоге и поддерживать положительный микроклимат в группе.

План занятия:

• Актуализация опорных знаний

• «Повторение - мать учения»

• Работа в группах

• Подведение итогов

• Домашнее задание

Основные правила деловой игры:

• Внимательно слушай вопрос и читай условие задачи

• Будь вежлив и выдержан

• Правильный ответ - залог будущего успеха

• Анализируй и обобщай полученные результаты

• Учись работать в коллективе

• Учись самостоятельно мыслить, принимать решения, аргументировать и отстаивать свою точку зрения

1. Актуализация опорных знаний

Конкурс 1: Повторим теорию:

1. Дайте определение производной.

Ответ: производной функции у = f(x) в точке х₀ называется предел отношения приращения функции в точке х₀ к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

2. Определение производной в стихотворной форме

В данной функции от х, нареченной игреком, y = f(x)

Вы фиксируете икс, отмечая индексом. X₀ f(x₀)

Придаете вы ему тотчас приращение, x₀ + ∆x

Тем у функции самой вызвав изменение. f (х₀ + ∆x)

Приращений тех теперь взявши отношение, =

Пробуждаете к нулю ∆x стремление. ∆x → 0

Ответ такого отношенья вычисляется,

Он производною в науке называется. y′ =

3. Что необходимо знать для нахождения производной?

Ответ: Правила дифференцирования и таблицу производных.

2. Повторенье - мать ученья.

КОНКУРС 2: История открытий

Вопрос 1:

Великий английский ученый, которого

математики считают математиком, физики - физиком,

астрономы - астрономом. Благодаря ему в

математике появился раздел «Высшая математика»,

где изучаются дифференциальные и интегральные

исчисления. Он впервые ввел понятие «спектр».

Исаак Ньютон 17 век

Вопрос - 2:

Великий немецкий математик, живший в 17 - 18 вв, один из основоположников дифференциального и интегрального исчислений . Ввел понятие «функция». Неоднократно встречался с Петром I, давая ему советы по созданию Российской Академии наук.

(Готфрид Вильгельм фон Лейбниц )

Конкурс - 3: Решение практических задач

Знание производной - поможет в работе

При проверке технических характеристик автомобиля, делается замер скорости, и ускорения в момент времени, проверяется работа тормозной системы автомобиля и электропроводки.

6 марта 2014 года проходит конкурс на замещение вакантной должности генерального директора автотранспортного предприятия. Требуются специалисты, умеющие организовывать производство и работающих на нем людей, самостоятельно мыслить, принимать решения, аргументировать и отстаивать свою точку зрения.

Задача 1

Автомобиль массой 980 кг движется прямолинейно по закону S=2t²+3T-1. Найти кинетическую энергию тела ( mv²/₂) через 3с после начала движения

Решение

Найдем скорость движения автомобиля в любое момент времени t

V=S'(t) V=(2t²+3t+1)'=4t+3

Вычислим скорость тела в момент времени t=3

V(3)=4*3+3=15(м/с)

Определим кинетическую энергию автомобиля

mv²=980*15²=110250 (Дж)

2 2

При изучении процессов и явлений часто возникает задача определения этих процессов. Есть движение, есть скорость, с которой мы двигаемся, и ускорение. А найти их можно с помощью производной. И движение, и автомобиль тесно связаны с производной.

Конкурс претендентов на замещение вакантной должности главного техника

Претендент должен организовать производство, и работающих на нем людей, самостоятельно мыслить, принимать решения, аргументировать и отстаивать свою точку зрения.

Задача 1

Автомобиль массой 980 кг движется прямолинейно по закону S=2t²+3T-1. Найти кинетическую энергию тела ( mv²/₂) через 3с после начала движения

Решение

Найдем скорость движения автомобиля в любое момент времени t

V=S'(t) V=(2t²+3t+1)'=4t+3

Вычислим скорость тела в момент времени t=3

V(3)=4*3+3=15(м/с)

Определим кинетическую энергию автомобиля

mv²=980*15²=110250 (Дж)

2 2

Задача №2

Специалисты по ремонту и обслуживанию автомобилей произвели ремонт Х штук машин в день с незначительными поломками. По договору они должны ежедневно производить ремонт таких автомобилей не менее 15 в день. Производственные мощности ремонтной зоны таковы, что они должны производить ремонт всех автомобилей с различными поломками до 30 в день. Определить, при каком объеме производства удельные затраты будут наибольшими (наименьшими), если функция затрат имеет вид:

К= -х³+68х²+200х. Удельные затраты составят К/х= -х²+68х+200

Решение. Наша задача сводится к отысканию наибольшего и наименьшего значения функции Y= -х²+68х+200. Найдем производную этой функции. Y` = -2х + 68

Y`(15) = -2*15 + 68 = 38 Y`(30) = -2 * 30 + 68 = 8

Таким образом, при ремонте в день 38 автомобилей удельные издержки максимальны, это экономически не выгодно, а при ремонте 30 машин в день минимально, следовательно, можно посоветовать работать ремзоне на предельной мощности и находить возможности усовершенствовать технологию, так как дальше будет действовать закон убывающей доходности. И без реконструкции нельзя будет увеличить выпуск продукции.

Молодые инженеры - конструкторы работают над созданием моделей новых автомобилей, усовершенствуют двигатели, проверяют скорость на различных дорогах.

3.Работа в группах (задачи №3, №4 и №5 решаются по группам)

Задача №3:

Функция скорости гоночного автомобиля

Решение: Производная скорости гоночного автомобиля была положительной в период времени (2;3), (8;10) и (13;14), а отрицательный в период времени (1;2), (6;8) и (12;13). В физике производная скорость по времени есть ускорение движения. Гоночный автомобиль 3 раза сбрасывал и набирал скорость, а значит двигался он мог только по маршруту C

Каждый работник автотранспортного предприятия должен иметь водительское удостоверение и знать правила дорожного движения.

Если на дороге произошла авария, то инспектора ДПС интересует скорость в момент аварии. Как она называется?

Ответ: Мгновенная

Как связана мгновенная скорость с производной ?

ОТВЕТ: Производная координаты пути от времени

Задача №4: Автомобиль приближается к мосту со скоростью 72 км/ч. У моста висит дорожный знак 36 (км/ч). За 7 секунд до въезда на мост водитель нажал тормозную педаль. С разрешаемой ли скоростью автомобиль въехал на мост, если тормозной путь определяется формулой: S=20t-t²

Ответ: Да, так как скорость через 7 секунд будет равна 6 м/с (21 км/ч)

Задача №5: Для машины, движущейся со скоростью 30(м/с), тормозной путь определяется по формуле: S(t)=30t-16t² , где S(t) - путь в метрах; t - время торможения в секундах. В течении какого времени осуществляется торможение до полной остановки машины. Сколько метров будет двигаться машина с начала торможения до полной остановки?

ОТВЕТ: Мгновенная скорость V(t) машины при торможении равна производной: V(t)=S'(t)=(30t-16t²)'=30-32t В конце тормозного пути V(t)=0, имеем 30-32t=0 => t=15/16(c). Торможение осуществляется в течении этого времени. Тормозной путь машины составит

S(15/16)=30*15/16-16*(15/16)²=14m

Задачи №6 и №7 решаются у доски

Технологическая служба старается организовать производство так, чтобы происходила экономия топлива в эксплуатации автомобиля

Задача №6: Стоимость эксплуатации грузового автомобиля, идущего со скоростью V км/ч составляет C=(90+0,4v²) руб/ч. С какой скоростью должен ехать автомобиль, чтобы стоимость 1 км пути была наименьшей, если F(v)=c*t?

Решение:

t=s/v=>t=1/v v>0

F(v)=1/v*(90+0,4v²)=90/v+0,4v

F'(v)=-90/v²+0,4

- 90/v²+0,4=0 v=(+-)1,5 v>0, >0 v=1,5

При v=15 - себестоимость будет наименьшей

Отдел экономистов работает над тем, чтобы каждый водитель знал экономичную скорость своего автомобиля, чтобы горючего расходовалось бы экономнее, детали машин реже выходили из строя. Чтобы аварий было гораздо меньше, экономисты разрабатывают график работы каждого работника, учитывают производительность труда.

Задача №7: Объем выполненных работ по ремонту автомобиля, произведенный бригадой слесарей, задается уравнением V=-5/6t³+15/2t²+10t+50,

рабочий день длится 8 часов t - рабочее время в часах. Вычислить производительность труда через час после начала работы и за час до ее окончания.

Решение

Производительность труда выражается формулой

P(t)=V'(t) P(t)=-5/2t²+15t+100(ед/ч)

В заданные моменты времени t₁=1 t₂=8-1=7, имеем P(t)=112,5(ед/ч) P(t)=82,5 ед/ч

Итак, к концу рабочего дня, производительность труда снижается.

3. Итог урока:

1. Дайте понятие производной.

2. Находит ли своё применение производная в технике?

3. При проверке технических характеристик, где необходима производная?

4. Для чего инженерам производная?

5. Для чего водителю необходимо знать мгновенную скорость?

6. Для чего производная технологической службе?

7. Какое отношение имеют экономисты к производной?

4. Домашнее задание:

Повторить геометрический и механический смысл производной