Практическая работа 1,2

Расчет цепи постоянного тока методом узловых и контурных уравнений (уравнений Кирхгофа) и методом контурных токов

1. Цель работы:

• изучить алгоритм расчета сложных электрических цепей методом узловых и контурных уравнений (уравнений Кирхгофа) и методом контурных токов;

• рассчитать сложную электрическую цепь методом контурных токов.

2. Средства обучения:

• курс лекций по дисциплине «Основы электротехники»

• методические указания к практической работе.

• учебно-методическая разработка «Примеры решения задач и задачи для типового расчета сложных электрических цепей».

3. Теоретическое обоснование

Сложной электрической цепью называют цепь, содержащую две и более ветвей с источниками электрической энергии.

Расчет сложной электрической цепи, когда известны конфигурация цепи и параметры ее элементов, состоит в нахождении токов и напряжение во всех ветвях, а также мощности на участках цепи. Эта задача может быть решена с помощью уравнений Кирхгофа.

1. Метод узловых и контурных уравнений Кирхгофа

Данный метод основан:

• на первом узловом уравнении Кирхгофа, вид которого прописан в выражении:

= 0 , (1)

где ΣI_к - алгебраическая сумма токов сходящихся в узле, А;

k - номер тока.

Токи, направленные к узлу, условно принимаются положительными; токи направленные от узла к отрицательными.

• на втором контурном уравнении Кирхгофа:

= * I_р , (2)

где ΣЕ_р - алгебраическая сумма ЭДС в контуре электрической цепи, В;

ΣR_р * I_р - алгебраическая сумма падений напряжений на участках контура, В;

k, р - номер ЭДС, сопротивлений и токов цепи.

ЭДС, направления которых совпадают с выбранными направлениями обхода контура, принимаются положительными, в противном случае - отрицательными. При записи правой части равенства, со знаком плюс берутся падения напряжений в тех ветвях, в которых выбранное положительное направление тока совпадает с направлением обхода контура, в противном случае - со знаком минус.

Расчёт сложной электрической цепи методом уравнений Кирхгофа производится согласно алгоритму:

• определите общее количество узловых и контурных уравнений: их число должно быть равно числу неизвестных токов, т.е. числу ветвей;

• задайтесь произвольным направлением токов в ветвях (если в итоге значение какого-либо тока получается отрицательным, то действительное направление не совпадает с выбранным);

• обозначьте узлы и составьте уравнения для них (согласно формуле (1). Их число должно быть на единицу меньше общего числа узлов;

• количество контурных уравнений (q) определяется из выражения:

q = b - (y - 1) , (3)

где b - количество ветвей;

y - количество узлов.

• обозначьте контуры и задайтесь произвольным направлением обхода контуров. Контуры необходимо выбирать так, чтобы каждый из них отличался хотя бы одной ветвью;

• составьте уравнения для контуров (согласно формуле (2);

• решите систему уравнений, тем самым определите токи в ветвях;

• составьте баланс мощностей для заданной схемы, согласно уравнению (4). Обе части равенства выражены в формуле (5).

Из закона сохранения энергии для любой простой электрической цепи должно выполняться равенство:

= , (4)

или

* I_k = * R_p , (5)

где ΣР_ист - алгебраическая сумма мощностей источников электрической энергии, Вт;

ΣР_пр - алгебраическая сумма мощностей приёмников (резисторов), Вт;

I_k - ток в ветви с источником энергии, А;

I_p - ток в ветви с приёмником (резистором), А;

R_p - сопротивление приёмника (резистора), Ом.

При наличии внутреннего сопротивления источника (R_внутр) в правую часть уравнения (10) вводится слагаемое:

P_внутр = I² * R_внутр , (6)

где Р_внутр - мощность потерь внутри источника, Вт.

В левой части уравнения (5) со знаком плюс записываются те слагаемые, для которых направления ЭДС и тока совпадают, в противном случае эти слагаемые записываются со знаком минус. Если равенство (4) не выполняется, то расчёт цепи произведён неверно.

Если баланс мощностей не выполняется, то значения токов не соответствуют действительным значениям.

Решение системы уравнений Кирхгофа, если количество ветвей в сложной электрической цепи более трех, создает известных трудности. Упростить расчет сложных электрических цепей возможно, если ввести понятие контурных токов и применить их для решения задач.

2. Метод контурных токов

В основу данного метода положено понятие о контурных токах, под которыми понимают условные токи, замыкающиеся только по своим контурам, а истинный ток в любой ветви выражается в виде алгебраической суммы контурных токов, протекающих по этой ветви.

Расчет сложной электрической цепи постоянного тока методом контурных токов производится согласно алгоритму:

• представьте источники энергии их ЭДС и внутренними сопротивлениями (R_вн), если последние не равны нулю;

• выберите и обозначьте произвольно направление токов в ветвях. Если в результате решения задачи их значения окажутся отрицательными, то поменяйте их направления на противоположные;

• выберите контуры для рассмотрения и составления уравнений. Их количество (q) определяется формулой (3). По возможности следует выбрать только простые контуры;

• обозначьте на схеме (проведите индексацию двойными цифрами: I11, I12 и т.д.) и выберите направление контурных токов. Удобнее выбрать единое направление по часовой стрелке;

• определите контурные ЭДС, обходя каждый контур в направлении соответствующего контурного тока.

Контурной ЭДС называют алгебраическую сумму ЭДС данного контура и обозначают: E11; E12 и т.д.

Если направление какой-либо ЭДС не совпадает с направлением обхода контура, то она суммируется со знаком минус.

Если в данный контур не входят источники ЭДС, то контурная ЭДС его равна нулю;

• определите общие и собственные сопротивления контуров.

Сумма сопротивлений всех ветвей, входящих в данный контур, называется собственным сопротивлением контура (R11, R22 и т.д.)

Сумма сопротивлений ветви, входящей в два смежных контура, называется общим сопротивлением контуров. Их обозначают двойными индексами (по номерам смежных контуров): R12, R21, R13 и т.д.

Внутренние сопротивления источников ЭДС (R_вн) учитываются как и сопротивление приемников энергии;

• запишите систему контурных уравнений по второму закону Кирхгофа, с тем допущением, что каждое из уравнений отражает равенство контурных ЭДС падениям напряжения на собственных и общих сопротивлениях контуров при протекании контурных токов.

Необходимо учитывать, что в каждом контуре присутствуют ветви, относящиеся к двум смежным контурам, поэтому падение напряжения на них создается не только собственным контурным током, но и контурным током смежного контура, направление которого влияет на знак падения напряжения.

Структура системы контурных уравнений в общем виде для трех контуров будет иметь вид:

• решите систему уравнений удобным для Вас способом и определите контурные токи;

• определите действительные токи в ветвях.

Если ветвь относится только к одному контуру, то действительный ток в ней равен контурному току.

Если ветвь относится к двум смежным контурам, то действительный ток в ней определяется наложением контурных токов.

• составьте баланс мощностей для заданной схемы (если он выполняется, то расчет произведен верно).

3. Задание

Произвести расчет сложной электрической цепи постоянного тока методом контурных токов и составить систему уравнений, необходимых для определения токов по методу уравнений Кирхгофа.

3. Ход работы

1. Получите задание по работе, уточните вариант задания.

2. Ознакомьтесь с методическими указаниями, ответьте на вопросы преподавателя.

3. Приступите к выполнению задания. Для схемы, соответствующей варианту задания и по заданным в таблице 1 параметрам выполнить следующее:

• зарисовать вид цепи и занести данные в отчет (схемы приведены в Приложении А);

• составить систему уравнений необходимых для определения токов по методу уравнений Кирхгофа;

• найти все токи, пользуясь методом контурных токов;

• составить баланс мощностей для заданной схемы. При расчете цепи руководствуйтесь алгоритмами, приведенными в п.3.1 и 3.2.

Таблица 1 - Данные для задачи

4. Приступите к оформлению отчета.

3. Рекомендации по оформлению отчета

Отчет по практической работе оформляется в соответствии с принятыми требованиями в колледже. Ответ должен содержать:

• вид работы (практическая работа)

• название темы;

• цель работы;

• средства обучения;

• задание;

• ход работы. В ходе работы отразить:

─ содержание задачи со схемой и данными, согласно варианту;

─ алгоритм расчета с поясняющими записями и расчетными формулами;

• вывод. В выводе указать:

─ какими методами возможен расчет сложной электрической цепи постоянного тока, и на каких законах он основывается;

─ правильно ли произведено определение токов в сложной цепи (выполняется ли баланс мощностей).

3. Контрольные вопросы

1. Какая электрическая цепь называется сложной?

2. Какие методы расчета сложной цепи Вы знаете?

3. На каких законах основывается расчет сложной цепи, поясните их.

4. Каким образом определяют количество уравнений по методу уравнений Кирхгофа и контурных токов?

5. Направлением каких параметров задаются при расчете сложной цепи методом уравнений Кирхгофа и контурных токов?

6. Какие сопротивления называются общими, а какие собственными?

7. Как связаны между собой действительные токи в ветвях и контурные токи?

8. Что такое баланс мощностей? С какой целью проверяется его выполнение?

Литература

1. Борейша Е.Г. Примеры решения задач и задания для типового расчета сложных электрических цепей. Учебно-методическая разработка. - Череповецкий металлургический колледж, 2001.

2. Евдокимов Ф.Е. Теоретические основы электротехники.- М.: Высшая школа, 2001., с.80-81; 90-92.

Приложение А - Схемы для задачи

Продолжение Приложения А