Открытый урок по статистике

Структурные средние: мода, медиана.

Цели:

Обучающие: обобщение ранее изученного материала; формирование у учащихся понятия структурных средних - моды и медианы, знать область применения и методику их расчёта.

Развивающие: развитие творческих способностей учащихся, познавательной активности, коммуникативных навыков при совместной работе.

Воспитательные: воспитание трудолюбия, самостоятельности в выборе способов решения задач.

Форма организации урока: комбинированный урок

Оборудование: мультимедийный проектор, презентация.

Межпредметные связи: экономика, маркетинг, менеджмент.

,

План урока:

1. Организационный момент 5 мин

2. Объявление темы и цели урока 2 мин

3. Актуализации опорных знаний 15 мин

4. Усвоение нового материала 45 мин

5. Обобщение изученного материала 10 мин

6. Домашнее задание 1мин

7. Подведение итогов 2 мин

Ход урока

1. Организационный момент.

Приветствие. Отчет дежурного об отсутствующих.

2.Объявление темы и цели урока.

«Статистика знает всё»,- утверждали Ильф и Петров в своем знаменитом романе «Двенадцать стульев» и продолжали: «Известно, сколько какой пищи съедает в год средний гражданин республики... Известно, сколько в стране охотников, балерин... станков, велосипедов, памятников, маяков и швейных машинок... Как много жизни, полной пыла, страстей и мысли, глядит на нас со статистических таблиц!..»

Мы продолжаем изучать тему "Средние величины и показатели вариации", и сегодня на уроке рассмотрим структурные средние в статистике - моду и медиану, понятия, расчет и область применения.

3. Актуализация опорных знаний.

Прежде чем приступить к изучению новой темы, давайте повторим материал прошлого урока (задаются вопросы о средних величинах, их видах, решаются задачи).

1. Средние в статистике - это … (ответы студентов)

2. Виды средних … (ответы студентов):

Средняя арифметическая простая

Средняя арифметическая взвешенная

Средняя гармоническая взвешенная

3.Найти средние

Задача 1.

В течение месяца в девяти контрольных точках на водоемах города производился забор проб воды для оценки соответствия санитарно-гигиеническим нормам. Ниже приведен ранжированный ряд распределения контрольных точек по проценту проб воды, не отвечающих санитарно-гигиеническим нормам:

№ точки забора

1

2

3

4

5

6

7

8

9

% проб, не отвечающих нормам

11

7

8

8

11

11

12

9

10

Определите средний процент проб воды, не отвечающих санитарно-гигиеническим нормам:

Решение

=(11+7+8+8+11+11+12+9+10)/9=87/9=9,7%

Задача 2. На основе приведенных данных вычислите среднюю цену хлеба.

Наименование

Хлеб «Бородинский»

Хлеб «Формовой»

Объем продажи (кг)

100

150

Цена (тг.)

80

60

Решение

тг.

Задача 3. По семи цехам швейной фабрики имеются данные о расходовании ткани на производство продукции.

Номера цехов

1

2

3

4

5

6

7

Расход ткани на все изделия, м

150

126

261

200

250

260

420

Расход ткани на одно изделие, м

0,6

0,7

0,9

0,4

0,5

1,3

1,4

Определите расход ткани на одно изделие в среднем по фабрике.

Решение

м

Когда нужно и не нужно среднее арифметическое? (варианты ответов студентов):

Средние показатели применяют для того, чтобы сравнивать уровень зарплат в различных отраслях экономики, температуру и уровень осадков на одной и той же территории за сопоставимые периоды времени, урожайность выращиваемых культур в разных географических регионах и т. д.

Имеет смысл вычислять средние траты в семье на продукты, среднюю урожайность картофеля на огороде, средние расходы на продукты, чтобы понять, как поступать в следующий раз, чтобы не было большого перерасхода, среднюю оценку за семестр - по ней поставят оценку за год.

Но нет смысла вычислять среднюю зарплату моей мамы и главы администрации президента, среднюю температуру здорового и больного человека, средний размер обуви у меня и у моего брата.

4.Усвоение нового материала

4.1. Понятие о моде и медиане.

В повседневной жизни мы, не догадываясь, используем такие понятия как медиана, мода, размах и среднее арифметическое. Даже когда мы ходим в магазин или делаем уборку.

Иногда средние могут дать неправильную характеристику нормальности явления, так как сама вариация может быть очень велика, а значения признака распределены неравномерно по отношению к центру распределения, а мода и медиана в значительной степени дополняют информацию о нормальности и центре распределения в совокупности. Более того иногда мода и медиана дают более точную информацию о характере распределения. Например, Вас приглашают работать на предприятие, где средняя заработная плата составляет 140 тысяч тенге. Вы с радостью соглашаетесь, а в результате оказывается, что начальники получают от 400 до 600 тысяч тенге, а большинство работников от 40 до 60 тысяч тенге. А вот если бы вы знали самую распространенную в организации заработную плату (мода), или ту заработную плату, которая делит работников ровно на две части по численности (мода = 60 т.т., медиана = 70 т.т.), то ваши действия были бы другими. Этим и объясняется их значение в статистике и практическая незаменимость в решении ряда задач. Любопытно, но ведь то, что называется модой в статистике, имеет некоторое сходство с обычным, бытовым пониманием этого слова. Например, показ мод будущего сезона означает, что большинство будет носить в будущем сезоне, и это правильно.

Знать моду и медиану и адекватно на нее реагировать актуально не только для жизни и бизнеса, но и для статистики, обслуживающей бизнес. В частности, в маркетинге принято ориентироваться не на средние доходы населения, а на медиану и моду.

Итак, хотя среднее арифметическое и является важной характеристикой ряда чисел, но иногда полезно рассматривать и другие средние.

Модой называют число ряда, которое встречается в этом ряду наиболее часто. Можно сказать, что данное число самое «модное» в этом ряду. Такой показатель, как мода, используется не только для числовых данных. Если, например, опросить большую группу студентов, какая из дисциплин им нравится больше всего, то модой этого ряда ответов окажется та дисциплина, которую будут называть чаще остальных.

Оценки за семестр по статистике: 4,5,5,4,4,4,4,5,5,4,5,5,4,5,5,5,5,5,5. Получилось: «5» - 7, «4» - 5, «3» - 0, «2» - 0

Мода равна 5.

Но мода бывает не одна, например, по статистике в октябре у студентки были такие оценки - 4,4,5,4,4,3,5,5,5. Мод здесь две - 4 и 5

Мода - показатель, широко используемый в статистике. Одним из наиболее частых использований моды является изучение спроса. Например, при решении вопросов, в пачки какого веса фасовать масло, какие открывать авиарейсы и т. п., предварительно изучается спрос и выявляется мода - наиболее часто встречающийся заказ.

Заметим, что в рядах, рассматриваемых в реальных статистических исследованиях, иногда выделяют больше одной моды. Когда в ряду много данных, то интересными бывают все те значения, которые встречаются гораздо чаще других. Их статистики тоже называют модой.

Когда нужна мода? (варианты ответов студентов)

Мода применяется в тех случаях, когда нужно охарактеризовать наиболее часто встречающуюся величину признака. Если надо, например, узнать наиболее распространенный размер заработной платы на предприятии, цену на рынке, по которой было продано наибольшее количество товаров, самый популярный фасон и размер одежды, обуви, размер бутылки сока, пачки чипсов, пользующийся наибольшим спросом у потребителей, и т.д., в этих случаях прибегают к моде.

Путешествуя по Алматинской области, можно заметить, что на автомобилях наиболее часто встречаются номера В или 05- номер области. Это называется мода.

Однако нахождение моды далеко не всегда позволяет делать надежные выводы на основе статистических данных.

Еще одной из важных статистических характеристик ряда данных является его медиана. Обычно медиану ищут в случае, когда числа в ряду являются какими-либо показателями и надо найти, например, человека, показавшего средний результат, фирму со средней годовой прибылью, авиакомпанию, предлагающую средние цены на билеты, и т. д.

Медианой ряда называется число данного ряда, которое окажется посередине, если этот ряд упорядочить.

Например, при анализе результатов, показанных участниками забега на 100 метров, знание медианы позволяет преподавателю физкультуры выделить для участия в соревнованиях группу ребят, показавших результат выше срединного.

Когда нужна и не нужна медиана? (варианты ответов студентов)

Медиана чаще применяется с другими статистическими характеристиками, но по ней одной можно отбирать результаты, выше или ниже медианы

Возьмем такой пример: в одной и той же больничной палате находится девять человек с температурой

36,6 °С, и один человек, у которого она равна 41 °С. Арифметическое среднее в этом случае равно: (36,6*9+41)/10 = 37,04 °С. Но это вовсе не означает, что каждый из присутствующих болен. Все это наталкивает на мысль, что одной средней часто бывает недостаточно, и именно поэтому в дополнение к ней используется медиана.

На выполнение домашнего задания студент тратит в течение недели такое время - 60 мин в понедельник, во вторник 103 мин, в среду 58, в четверг 76 , а в пятницу 89 мин. Записав эти числа от меньшего к большему, посередине стоит число 76 - это называется медиана.

4.2. Исчисление моды и медианы в дискретном и интервальном рядах

Модой называется значение признака (варианта), чаще всего встречающееся в изучаемой совокупности.

В дискретном ряду распределения модой является вариант признака, имеющий наибольшую частоту.

Пример 1: Распределение рабочих по тарифному разряду:

Наибольшее число рабочих (18) имеют третий разряд. Следовательно, мода для данной совокупности - 3 разряд.

Пример 2: Распределение проданной женской обуви по размерам характеризуется следующим образом:

Размер обуви

34

35

36

37

38

39

40

41

Количество проданных пар

8

19

34

108

72

51

6

2

В этом ряду распределения модой является 37 размер (108 проданных пар), т.е. Мо=37.

Для интервального ряда распределения мода определяется по формуле:

где Х_Mo - нижняя граница модального интервала;

h_Mo - величина модального интервала;

f_Mo - частота модального интервала;

f_Mo-1 и f_Mo+1 - частота интервала соответственно предшествующего модальному и следующего за ним.

Пример: Распределение рабочих по стажу работы характеризуется следующими данными.

Стаж работы, лет

Число рабочих, чел.

до 2

4

2-4

23

4-6

20

6-8

35

8-10

11

10 и более

7

Итого

100

Определить моду интервального ряда распределения.

Решение:

В данном примере модальный интервал находится в пределах стажа работы 6-8 лет, так как на этот интервал приходится наибольшая частота (35).

Мода интервального ряда составляет

Медиана - это значение признака у единицы совокупности, делящей ранжированный ряд пополам (или стоящей в середине ранжированного ряда).

Для нахождения медианы в дискретном ряду строится ряд накопленных частот.

Разряд

Число рабочих

Накопленная частота

1

2

3

4

5

6

5

8

18

16

11

9

5

5+8=13

13+18=31

31+16=47

47+11=58

58+9=67

Итого

67

В данной совокупности, состоящей из 67 единиц, в середине ранжированного ряда будет находиться 34-й рабочий . Рабочих с 1, 2, 3 разрядом насчитывается 31. Эта величина меньше порядкового номера медианы. Накопленная частота для 4 разряда - 47, т. е. превышает порядковый номер медианы. Отсюда следует, что рабочий, имеющий порядковый номер 34 принадлежит к 4-й тарифной группе. Следовательно, медиана в нашем примере - четвертый разряд.

Для нахождения медианы в интервальном ряду используют формулу:

где М_е - медиана;

Х₀ - нижняя граница медианного интервала (накопленная частота которого содержит единицу, стоящую в середине ряда);

h_Me - величина медианного интервала

Σf - сумма частот ряда (численность совокупностей);

S_Me-1 - накопленная частота предмедианного интервала (предшествующего медианному);

f_Me - частота медианного интервала.

Пример: Распределение рабочих по стажу работы характеризуется следующими данными.

Стаж работы, лет

Число рабочих, чел.

Накопленные частоты

до 2

4

4

2-4

23

4+23=27

4-6

20

27+20=47

6-8

35

47+35=82

8-10

11

82+11=93

10 и более

7

93+7=100

Итого

100

Определим медианный интервал. Им считается тот, до которого сумма накопленных частот меньше половины всей численности ряда, а с прибавлением его численности - больше половины. Подсчитаем накопленные итоги частот: 4, 27, 47, 82, 93,100. Середина накопленных частот - 100/2 = 50. Сумма первых трех меньше половины (47 < 50), а если прибавить 35 - больше половины численности совокупности (82 > 50). Следовательно, медианным является интервал 6-8. Определим медиану:

5. Обобщение изученного материала.

Далеко не всегда имеет смысл вычислять все характеристики, т.к. во многих ситуациях какая-то характеристика может не иметь никакого содержательного смысла.

Рассмотрим задачу:

На колледжной спартакиаде проводится несколько квалификационных забегов на 100 метров, по результатам которых в финал выходит ровно половина от числа всех участников. Перед вами результаты всех спортсменов. Какой результат позволяет пройти в финал?

15,5; 16,8; 21,8; 18,4; 16,2; 32,3; 19,9; 15,5; 14,7; 19,8; 20,5; 15,4.

Проранжируем ряд:

14,7; 15,4; 15,5; 15,5; 16,2; 16,8; 18,4; 19,8; 19,9; 20,5; 21,8; 32,3.

Найдите все три характеристики.

Какая характеристика, по-вашему, самая подходящая?

(Спрашивается 1 из учеников, поднявших руку)

Здесь для ответа на вопрос нужно определить медиану: . Спортсменов, которые имеют результат выше найденного, будет как раз половина от числа всех участников. А вот результат выше среднего арифметического, которое равно: , еще не позволяет рассчитывать на выход в финал: в списке есть спортсмен с результатом 18,4, который не попадает в финал. Мода этого ряда равна Мо=15,5 и дает слишком завышенную оценку для «среднего результата».

Приведем пример, когда мода содержит больше полезной информации.

Пример: Перед нами ранжированный ряд, представляющий данные о времени дорожно-транспортных происшествий на улицах города в течение одних суток (в виде ч:мин):

0:15, 0:55, 1:20, 3:20, 4:10, 6:30, 7:15, 7:45, 8:40, 9:05, 9:20, 9:40, 10:15, 11:30, 12:10, 12:15, 13:10, 13:50, 14:10, 14:20, 14:25, 15:20, 15:45, 16:20, 16:25, 17:05, 17:30, 17:45, 17:55, 18:05, 18:15, 18:45, 18:50, 19:45, 19:55, 20:30, 20:40, 21:30, 21:45, 22:10, 22:35.

Как и для любого ряда, в данном случае мы можем найти среднее арифметическое - оно равно 13:33. Однако вряд ли имеет какой-то смысл утверждение типа «аварии на улицах города происходят в среднем в 13 часов 33 минуты». В то же время, если сгруппировать данные этого ряда в интервалы, можно найти такой временной интервал, когда происходит наибольшее количество ДТП (такую характеристику называют интервальной модой). Получив такую характеристику, соответствующие службы должны серьезно проанализировать, почему именно в этот временной интервал происходит наибольшее количество происшествий, и попытаться устранить их причины.

Немного юмора (высказывания о статистике):

Статистика: наука, занимающаяся изготовлением недостоверных фактов из достоверных цифр (Эван Эсари)

Статистика может доказать что угодно, даже правду (Ноэл Мойнихан)

Статистика - это наука о том, сколько всего приходится на каждого человека, если бы все делились справедливо.
(Константин Мелихан)

Статистики как судебные психиатры - они могут подтвердить правоту обеих сторон (Фиорелло Да Тардиа)

Не принимай на веру того, что говорит статистика, пока тщательно не изучишь, о чем она умалчивает (Уильям Уотт)

Статистика, пожалуй, это самая божественная из наук. Ведь она переводит любое событие из разряда случайного в разряд закономерного

В жизни, как правило, преуспевает больше других тот, кто располагает лучшей информацией (Бенджамин Дизраэли)

Для политиков статистика - меч, для бюрократов - щит.

Самостоятельная работа

По данным таблиц определить моду и медиану

Вариант 1.

Вариант 2

X

f

1

10

2

30

3

40

4

5

5

3

X

f

10-20

24

20-30

30

30-40

32

40-50

24

50-60

10

X

f

1

10

2

40

3

40

4

5

5

4

X

f

100-300

8

300-500

14

500-700

10

700-900

12

900 -1100

10

Мо =3 Ме = 3

Мо = 2;3

Ме = 2

Мо = 32 Ме= 31,875

Мо = 420

Ме = 571,43

6.Домашнее задание

Вычислить моду и медиану в дискретном и интервальном рядах:

Задача 1. Возводимая площадь на одного жителя, м² /год (по данным исследовании PWC «Global Construction - 2025»

Австрия

0,61

Беларусь

0,55

Германия

0,70

Индия

0,60

Испания

0,69

Италия

0,74

Казахстан

0,40

Канада

0,62

Китай

0,73

Кыргызстан

0,16

Норвегия

0,64

Россия

0,49

США

1,07

Узбекистан

0,50

Украина

0,16

Франция

0,57

Чили

0,53

ЮАР

0,49

Южная Корея

0,92

Япония

1,10

Задача 2. Имеется интервальный ряд распределения магазинов по величине торговых площадей.

№ группы

Торговая площадь м²

Число магазинов

I

II

III

IV

V

50 - 100

100 - 150

150 - 200

200 - 250

250 - 300

2

6

30

8

4

итог:

50

7. Подведение итогов.

Сегодня на уроке вы познакомились с понятием структурных средних - моды и медианы. Теперь вы сможете применить эти знания в своей будущей профессии учета и аудита..

Оценки за урок (баллы суммируются за устные ответы и практические задания, объявляется общая оценка за урок).

И в заключение нашего урока ответьте, пожалуйста, на следующие вопросы:

Что тебе больше сего понравилось? __________________________________________

Что тебе меньше всего понравилось? _________________________________________

Я узнал (а) _______________________________________________________________

Еще я хотел (а) бы узнать___________________________________________________