Практическая работа 3,4

Расчет разветвлённой цепи переменного тока символическим методом

1 Цель работы

• научиться представлять синусоидально изменяющиеся величины электрической цепи в символической форме (комплексными числами) и производить расчет электрической цепи синусоидального тока, используя программу Соmcal;

• научиться строить в масштабе на комплексной плоскости векторные диаграммы токов и напряжений;

2 Средства обучения

• курс лекций по дисциплине "Электротехника";

• методические указания к практической работе;

• персональный компьютер IP 133;

• программа комплексного калькулятора Соmcal;

3 Теоретические обоснования

Символический (комплексный) метод нашел широкое применение для расчета электрических цепей переменного тока. Его сущность состоит в том, что изменяющиеся синусоидально электродвижущие силы (ЭДС), напряжения и токи, а также сопротивления, проводимости и мощности изображают символически, т.е. комплексными величинами и числами. Это позволяет заменить графические действия над векторами алгебраическими действиями над комплексными числами, и использовать для расчета цепей переменного тока законы Кирхгофа и все методы расчетов цепей постоянного тока.

Комплексное число геометрически представляется отрезком прямой (вектором), начало которого совмещается с началом осей координат на комплексной плоскости (рисунок 1).

+ j

А^// А

φ

А^/ t

Рисунок 1 - Графическое изображение комплексного числа

Существуют три формы записи комплексных чисел: алгебраическая, тригонометрическая и показательная.

(1)

алгебраи- тригонометри- показа-

ческая ческая тельная

где А^/ - действительное число;

j * А^// - мнимое число, которое равно произведению мнимой единицы и коэффициента при ней А^//;

А- модуль комплексного числа;

 - угол, составленный вектором с действительной положительной полуосью (положительные углы откладываются против часовой стрелки, а отрицательные - по часовой), град.;

(2)

 = arctg (A^// / A^/) (3)

Для сложения и вычитания комплексов нужно применять алгебраическую форму, а для умножения и деления удобно использовать - показательную.

Комплексные значения синусоидального изменяющихся величин: тока, ЭДС и напряжения, принято обозначать прописными буквами, , (соответственно).

Комплексы величин, не зависящих от времени: полных сопротивлений, проводимостей, мощностей, обозначают большими буквами без точек, но с чертой внизу: Z ,Y, S

Запись величин в алгебраической форме позволяет определить их активные и реактивные части.

Рисунок 2 - Схема электрической цепи переменного тока

Для электрической цепи, представленной на рисунке 1, основные электрические величины в символической форме будут выражаться формулами:

• Комплексное полное сопротивление (Z,Ом) ветви с резистором (R), конденсатором (С) и катушкой индуктивности (L):

Z=R+j*X_L-j*X_c =R+j(X_L-X_c)=z*e^(j*) (4)

где R,X_L,X_c - активное ,индуктивное и емкостное сопротивление цепи, Ом;

X_L=j*2*π*f*L=j*w*L (5)

Xc= 1/(J*2* π *f*C)=j/(w*C) (6)

где w-угловая частота рад/с;

L -индуктивность катушки, Гн;

С - емкость конденсатора, Ф;

f-частота источника питания, Гц;

(7)

где z - модуль комплекса сопротивления,Ом;

(8)

Знак «+» перед значением угла φ соответствует цепи индуктивного характера, а знак «-» емкостного характера.

• Комплексное полное напряжение

=U_a+jU_L-jU_c=U_a+j(U_L-U_c)=U*e^(j*) (9)

где U_а, U_L, U_c -действующие значения падения напряжения на R ,L ,C,В;

(10)

где U - модуль комплекса полного напряжения, В;

(11)

При этом >0, если U_L>U_c и <0, если U_L< U_c

При решении задач вектору напряжения U приписывают нулевую фазу, тогда при этом условии справедливо выражение:

=U*e ^j*0=U (12)

Тогда для комплекса тока будет справедлива формула:

= I * e ^j* (13)

• Комплексное значение мощности определяется формулой:

S = *= P + jQ_L - jQ_c = P + j(Q_L - Q_c)=z** (14)

где S - комплекс полной мощности, В*А;

- сопряженный комплекс тока, А (имеет противоположный по знаку, по сравнению с исходным, аргумент)

Р,Q_L,Q_c - активная,индуктивная и емкостная мощности, Вт, вар (соответственно);

Закон Ома позволяет определить ток на участке (ветви) цепи.

В комплексной форме он имеет вид:

=/ (15)

где U - напряжение на участке ветви или всей цепи, В;

- полное сопротивление этого участка, ветви или всей цепи, Ом ;

Следствием формулы (15) является выражение:

= * (16)

Для неразветвленной цепи однофазного переменного тока комплексное эквивалентное сопротивление (_экв) равно сумме всех ее комплексных сопротивлений (₁ … _n) и определяется по формуле:

= ₁ + ₂ + … + _n (17)

Для цепи с параллельным соединением двух ветвей эквивалентное сопротивление определяется по формуле:

(18)

Первый закон Кирхгофа в комплексной форме имеет вид:

(19)

где n - количество сходящихся токов в узле (от 1 до i)

Он гласит: сумма комплексных токов, сходящихся в узле электрической цепи, равна нулю.

Второй закон Кирхгофа в математической форме имеет вид:

(20)

где k - количество ЕДС в контуре;

m - количество падений напряжений на элементах контура

Он гласит: сумма действующих в контуре комплексных ЭДС равна алгебраической сумме комплексных падений напряжений в контуре.

При построении векторной диаграммы напряжений на комплексной плоскости следует помнить, что падение напряжения на резисторе U_R совпадает по фазе с током; на индуктивной катушке U_L опережает ток на угол 90⁰, на конденсаторе U_C отстает от тока на угол 90⁰.

Выполняя построение векторной диаграммы токов и напряжений на комплексной плоскости следует руководствоваться показательной формой комплексной величины ( при этом угол поворота вектора величины относительно оси действительных чисел (+1) должен соответствовать значению и знаку угла , а длина вектора - модулю величины) или алгебраической формой (при этом координата конца вектора величины задается значениями и знаками действительного и мнимого числа).

Пример расчета однофазной разветвленной электрической цепи синусоидального тока приведен в Приложении А.

Расчёт этой же задачи в программе Cоmcal приведен в Приложении Б.

Правила работы с программой Cоmcal следующие:

• все комплексные или действительные постоянные должны быть предварительно введены с помощью операции присвоения (в столбик);

• для обозначения констант и переменных используются только заглавные буквы;

• после нажатия клавиши Enter производится вычисление значения переменной или выражения, записанного в текущей строке, а на нижнее табло экрана выводится результат вычислений, и курсор переводится на следующую строку;

• Знак & - выполняет операцию замены аргумента на комплексно-сопряженный.

В нижних табло экрана указаны следующие столбцы:

Rea1- действительная часть комплексного числа

Imag - мнимая часть

Abs - модуль комплексного числа.

Arg, pag - значение угла в рад.

Arg, град - значение угла в град.

Значения в столбцах представлены целым числом и степенью десятичного множителя.

Например:

+5,00000 E + 01 = + 50 * 10¹

-1,470000 E - 01 = -1,47 * 10^-1 = - 0,147

+1,140323 E 00 = +1,140323 * 10⁰ = + 1,140323

4 Задание

Произвести расчёт разветвленной электрической цепи синусоидального тока в символическом виде и построить на комплексной плоскости векторную диаграмму токов и напряжений.

5 Ход работы

5.1 Получите задание по работе, уточните вариант.

5.2 Ознакомьтесь с методическими рекомендациями, ответьте на вопросы преподавателя.

5.3 Приступите к выполнению задания

Для схемы однофазной цепи синусоидального тока, приведённой на рисунке 3 соответственно варианту задания, и по заданным в Таблице1 параметрам, выполнить следующие действия:

1. Определить токи во всех ветвях цепи и напряжение на отдельных участках.

2. Составить баланс активных и реактивных мощностей.

3. Построить в масштабе векторную диаграмму токов и топографическую диаграмму напряжений по внешнему контуру.

При решении руководствуйтесь образцом решения, приведённым в Приложении А и образцом набора текста решения задачи в программе Соmcal в Приложении Б.

Таблица 1 - Варианты заданий

Номера

E

f

C1

C2

C3

L1

L2

L3

R1

R2

R3

вари-антов

Схем

В

Гц

мкФ

мкФ

мкФ

мГн

мГн

мГн

Ом

Ом

Ом

1

1

120

50

-

-

159

25,5

22,3

15,9

5

4

3

2

2

200

50

637

455

-

-

-

25,5

10

5

3

3

3

120

60

-

379

-

26,5

-

21,2

2

5

-

4

4

50

60

133

265

531

-

-

18,6

3

7

6

5

5

50

50

-

455

318

31,8

-

-

6

-

7

6

6

120

60

332

-

379

-

33,1

-

6

3

8

7

7

200

60

531

332

-

-

13,3

-

2

4

5

8

8

150

60

265

332

-

-

13,3

53,1

5

4

-

9

9

200

60

-

-

133

-

-

26,5

6

3

4

10

10

100

60

531

-

133

-

-

13,3

6

7

20

11

11

200

60

531

-

379

-

13,3

53,1

6

20

10

12

12

50

60

265

-

-

-

26,5

26,5

8

10

10

13

13

100

60

265

-

332

13,3

-

-

7

8

-

14

14

120

60

531

133

265

13,3

-

-

6

-

8

15

15

200

60

332

-

265

13,3

18,6

-

4

6

-

16

16

50

50

318

637

398

-

-

47,7

-

-

9

4. Приступите к оформлению отчета

Рисунок 3 - Схемы для задач

Рисунок 3 - Схемы для задач

6 Рекомендации по оформлению отчета

Отчет по практической работе оформляется в соответствии с принятыми требованиями в колледже. Отчет должен содержать:

• вид работы;

• название темы;

• цель работы;

• средства обучения;

• задание;

• ход работы.

В ходе работы отразить:

• содержание задачи со схемой и данными, согласно варианту;

• алгоритм расчета с поясняющими записями и расчетными формулами;

• векторные диаграммы на комплексной плоскости;

• вывод. В выводе указать достоинства символического метода расчета цепей переменного тока.

7 Контрольные вопросы

• Какие существуют три формы записи комплексного числа?

• Как изобразить синусоидальные величины при помощи векторных диаграмм на комплексной плоскости?

• Начертите треугольник напряжений, сопротивлений и мощности для цепи с активным, индуктивным и ёмкостным сопротивлениями.

• В каких единицах измеряются полная, активная и реактивная мощности?

• В чём состоит суть комплексного метода расчёта электрических цепей синусоидального тока?

• Приведите законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме.

Приведите выражение полного напряжения, сопротивления и мощности в комплексной форме.

Литература

1. Евдокимов Ф.Е. Теоретические основы электротехники. - М.: Высшая школа; центр «Академия», 2001. - 496 с.

2. Попов В.С. Теоретическая электротехника. - М.: Энергоатомиздат, 1990. - 544 с.

3. Панфилов Д.И., Иванов В.С., Чепурин И.Н. Электротехника и электроника в экспериментальных и упражнениях: Практикум на Electronics Workbench: в 2 т. - т.1: Электротехника. - М.: ДОДЭКА, 1999. - 304 с.

Приложение А - Образец решения задачи

Дано

E=120 В

f=50 Гц

R1=10 Ом

R2=24 Ом

R3=15 Ом

L1=19.1 мГн

L3=63.7 мГн

C2=455 мкФ

Рисунок 1 - Электрическая схема для расчёта

Решение.

1. Определим сопротивления реактивных элементов цепи:

X_L1=ω *L₁=2*π*f* L₁

X_L1==2*3.14*50*19.1*10^-3=6 Ом

X_L3=ω *L₃=2*π*f* L₃

X_L3=2*3.14*50*63,7*10^-3=20 Ом

X_C2=1/( ω *С₂)=1/(2*π*f* С₂)

X_C2=1/(2*3.14*50*455*10^-6)=7 Ом

2. Определим комплексные сопротивления ветвей, преобразовав вид цепи (рисунок 2):

Рисунок 2 - Эквивалентная схема

Z₁=R₁+j*X_L1

Z₁=10+j6=11.6 е^j31 Ом

Z₂=R₂-j *X_С2

Z₂=24-j7=25 е^-j16 Ом

Z₃=R₃+j *X_L3

Z₃=15+j20=25е^j53 Ом

3. Рассчитаем эквивалентное сопротивление цепи:

Z_ЭКВ= Z₁+((Z₂* Z₃)/( Z₂+ Z₃))

Z_ЭКВ=( 10+j6)+( 24-j7)( 15+j20)/(( 24-j7)+( 15+j20))=24,4+j10.8=26.7е^j24 Ом

4. Определим все токи, предварительно выразив ЭДС в комплексной форме. Если начальная фаза ЭДС не задана, то ее можно принять равной нулю, расположив вектор ЭДС по направлению вещественной положительной полуоси: =120℮^j0=120 В.

= / Z_экв

=120/( 24,4+j10.8) =4.118-j1.817=4.5е^-j24 A

=-_1*Z₁

=120-(4.118-j1.817)*( 10+j6)=120-(52.082+j6.538)=67.918-j6.538=68.4е^-j5 В

_ZI=_1*Z₁

_ZI=52.082+j6.538 В

₂= _ab/Z₂

₂=(68.4е^-j5)/(25е^-j16)=2.74е^j11=2.681+j0.509 A

₃= _ab/Z₃

₃=(68.4е^-j5)/(25е^j53)=2.74е^-j58=1.42-j2.33 A

Проверим правильность расчета по 1 закону Кирхгофа:

₁-₂-₃=4.118-j1.817-2.681-j0.509-1.42+j2.33=0

5. Составим баланс активных и реактивных мощностей. Определим мощность источника ЭДС:

S_ИСТ= *₁

S_ИСТ=120(4.118+j1.817)=493.16+j218.04 B*A

Определим мощности отдельных ветвей(приёмников) и цепи в целом:

S₁=Z_1*1*1

S₁=(10+j6)*4.5²=202.5+j121.5 B*A

S₂=Z_2*2*2

S₂=(24-j7)*2.74²=180.18-j52.5 B*A

S₃=Z_3*3*3

S₃=(15+j20)*2.74²=112.5+j150 B*A

S_ПР= S₁+ S₂+ S₃

S_ПР=495.18+j219 B*A

Как видно из расчетов S_ИСТ= S_ПР

6. Выполним построение векторной диаграммы токов и напряжений. Порядок ее построения следующий:

• выбираем масштабы по напряжению m_u и току m_i;

• по результатам расчета строим токи _{1, 2, 3,} причем вектор тока ₁ должен быть равен сумме токов ₂ и ₃;

• строим векторы _Z1 и _ab, причем их сумма по 2 закону Кирхгофа должна быть равна .

m_U = 10 В/см

m_I = 1 А/см

Рисунок 3 - Векторная диаграмма токов и напряжений

Приложение Б - Образец оформления текста программы Соmcal для расчета задачи

E=120

F=50

R1=10

R2=24

R3=15

L1=0.0191

L3=0.0637

C2=0.000455

XL1=j*2*p*F*L1

XL3=j*2*p*F*L3

XC2=1/(j*2*p*F*C2)

Z1=R1+XL1

Z2=R2+XC2

Z3=R3+XL3

Z=Z1+Z2*Z3/(Z2+Z3)

I1=E/Z

UZ1=I1*Z1

UAB=E-I1*Z1

I2=UAB/Z2

I3=UAB/Z3

I1-I2-I3

SIS=E*&I1

S1=Z1*I1*&I1

S2=Z2*I2*&I2

S3=Z3*I3*&I3

SPR=S1+S2+S3