Конспект урока Арифметическая и геометрическая прогрессии

Конспект урока Арифметическая и геометрическая прогрессии

Должность :учитель математики и физики Назарова Надежда Ивановна

Место работы: Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Соколовская основная общеобразовательная школа»

Тема: Арифметическая и геометрическая прогрессии

Цели урока:

Образовательные: обеспечить повторение, обобщение и систематизацию знаний по теме. Создание условий контроля (самоконтроля) усвоения темы.

Развивающие: способствовать формированию умений применения приемов сравнения, обобщения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию и развитие математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти.

Воспитательные: содействовать воспитанию интереса к предмету, активности, мобильности, умения общаться.

Тип урока: урок закрепления знаний и систематизации знаний по арифметической и геометрической прогрессии.

План и ход урока:

Организационная часть. Проверка готовности учащихся к уроку.

Закончился 20 век.

Куда стремится человек?

Изучены и космос и моря,

Строенье звезд и вся Земля.

Но математиков зовет

Известный лозунг:

«Прогрессио - движение вперед».

Мотивационное начало.

Учащимся предлагается обнаружить закономерность в таблице, заранее написанной на доске

2

4

8

16

0

2

6

14

-2

0

4

12

-4

-2

2

10

В первой строчке-геометрическая прогрессия

Во всех столбцах - арифметическая прогрессия.

2. Как можно сформулировать тему данного урока

Учащиеся формулируют тему урока, записывают в тетрадь

Актуализация целей и задач урока

Мудрец: Под скрип пера о лист бумаги.

Заполните сии листы!

Раздаются заготовки листов для проверки знания теории

№п/п

Прогрессия

Арифметическая

Геометрическая

1

Определение

2

Формула п-го члена

3

Сумма п первых членов прогрессии

4

Свойства

Ученики заполняют таблицу.

За верные ответы каждый учащийся получает жетоны. На экране появляется таблица с ответами

№п/п

Формулы

Арифметическая прогрессия

Геометрическая прогрессия

1

Определение

Определение дать устно

2

Формула п-го члена

a _n+1 = a_n + d

b_n+1 = b_n • q

a_n = a₁ + d(n - 1)

b_n = b₁ • q ^n-1

3

Сумма n-первых членов прогрессии

= (a₁ + a_n) • n

= 2a₁ + d(n - 1) • n

S_n = b₁ • ( q_n - 1) , q 1

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

| q | 1, S =

4

Свойства

a_n =

b_n =

Зная эти формулы можно решать интересные задачи

Устно выполнить следующие задания:

1. (a_n ): a₁ = 4, a₂ = 6, d = ?

2. (a_n ): a₁ = 2, d = 4, a₁₀ = ?

3. (a_n ): a₁ = 2, a₅ = - 18, S₅ = ?

4. (b_n ): b₁ = 9, b₂ = 3, q = ?

5. (b_n ): b₁ = 1, q = - 2, b₄ = ?

Решение задач репродуктивного характера.Организация взаимоконтроля в парах.

(Перед решением следующих задач учащимся предлагается оценить имеющиеся у них знания и умения по теме (по пятибальной шкале)

Знания и умения

Я

Другой

Знания формул п-го члена,суммы первых членов прогрессии

Умение преобразований выражений

Вычислительная культура

Задание -заполнить пропуски в таблице,если (a_n )-арифметическая прогрессия и (b_n)- геометрическая прогрессия.

a₁

d

n

a_n

S_n

110

-10

11

5

26

105

3

12

210

2

15

-10

b₁

q

n

b_n

S_n

1

3

10

0,5

8

2

2

7

1458

0,5

1/128

127/128

Работа выполняется учащимися самостоятельно. После следует взаимопроверка и взаимооценивание. Проверяющий заполняет третью колонку таблицы, выражая свое мнение о знаниях и умениях партнера

Физкультминутка.

Проводится гимнастика для глаз. Гимнастика для снятия напряжения глазных мускул.

-Смотрим все на доску. Нужно не поварачивая голову, в направлении указателя вести рисунок глазами. 1. Лежащая восьмёрка. 2. Вершина горы

1. 2.

3 «Я и мир логики»

Историческая справка о К.Ф. Гауссе

1. Вам предлагается решить небольшой тест. Обведите верные варианты ответов в кружок. Сопоставьте полученные ответы буквам и прочтите зашифрованное слово. Запишите буквы в таблицу.

Найти пятые члены следующих арифметических прогрессий:

(a_n ): - 6; - 3;… Ответ: А. - 5; Б. 9; В. 18; Г. 6.

(a_n ): a1 = 6, d = 5. Ответ: А. 26; Б. 15; В. 12; Г. 1.

a_n = 27 - 6n Ответ: Е. 59; Р. - 5; У. - 3; Ф. 4

(a_n ): a1 = - 26, d = 7. Ответ: П. 67 Р. - 3; С. 2; Т. 44

(a_n ): 4; 6; 8;… Ответ: М. - 4; Л. - 15; П. 6; С. 12.

Какое слово у вас получилось?

№ задания

1

2

3

4

5

Ответ (число)

6

26

- 3

2

12

Слово

Г

А

У

С

С

А знаете ли вы кто такой Гаусс?

Карл Гаусс (1777 - 1855) - немецкий математик, астроном, геодезист. Он еще в детстве обнаружил выдающиеся способности к математике. Учитель предложил учащимся сложить все натуральные числа от 1 до 100. Маленький Гаусс решил эту задачу за 1 минуту, сообразив, что 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = …, 101 • 50 = 5050.

Какая задача была предложена Гауссу?

( Надо было найти сумму ста первых членов арифметической прогрессии:

1; 2; 3; …, 99; 100. S100 = (a1 + a100) • 100 = (1 + 100) • 100/2 = 5050)

Один ученик решает у доски, остальные записывают решение в тетрадях.

2)Найти сумму всех натуральных чисел ,кратных 4 и не превосходящих 300.

3)Найти количество всех трехзначных натуральных чисел , делящихся на 7

-Я хочу предложить на ваше внимание одну жизненную ситуацию. Однажды незнакомец постучал в окно к богатому купцу и предложил такую сделку: "Я буду ежедневно в течении 30 дней приносить тебе по 100 000 рублей. А ты мне в первый день за 100 000 рублей даёшь 1 коп., во второй день за 100 000 рублей - 2 коп., и так каждый день будешь увеличивать предыдущее число денег в 2 раза. Если тебе выгодна сделка, то с завтрашнего дня начнём". Купец обрадовался такой удаче. Он подсчитал, что за 30 дней получит от незнакомца 3 000 000 рублей. На следующий день пошли к нотариусу и узаконили сделку. Создаётся проблемная ситуация. Кто выиграл? Кто проиграл?

-Купец выиграл, ... незнакомец выиграл.

- Какую последовательность можно составить? -1;2;4;8;16;32;64;.... всего тридцать членов.

- Это какая прогрессия? -Геометрическая прогрессия.

-Значит, нам нужно найти сумму 30-ти членов геометрической прогрессии, где b₁=1; q=2. Как найдём? -Нужна формула для вычисления первых n членов геометрической прогрессии?

Сегодня вам кажется, что знание арифметической и геометрической прогрессий вам в жизни не пригодится, но, к сожалению это не так. Вот послушайте, в какое нелепое положение попал даже правитель государства, не знающий геометрическую прогрессию.

- По древней индийской легенде правитель Шерам приглашает к себе Сету - человека, который придумал игру шахматы и говорит ему: «Я хочу за прекрасную игру вознаградить тебя. Я очень богат, что спросишь, всё могу дать". А Сета улыбаясь, говорит ему: "Если , вы непротив, то на первую клетку шахматной доски положить 1-о зёрнышко пшеницы, на вторую - 2, третью - 4, четвёртую - 8, на каждую последующую клетку в 2- раза больше, чем на предыдущую" Правитель даёт своё согласие и даёт приказ: "Вычислить пшеницу причитающуюся Сете и отдать". Проходит день, второй, третий, а пшеница не выдаётся. Вычисления проводятся день и ночь. Правитель выражает своё недовольствие. Наконец, спустя много времени они закончили свои вычисления, и были ошарашены тем , что у правителя нет столько пшеницы. Если быть точнее, то получим 18 квинтильонов 446 квадрильонов 744 триллиона 73 биллиона 709 миллионов 551 тысяча 615. Чтобы вместить столько пшеницы нужен амбар высотой 4 м, шириной 10 м, длина, которого в 2 раза больше расстояния от земли до солнца - 300000000 км. Значит, правитель не смог выполнить просьбу Сеты. (Учитель с помощью доски выводит формулу суммы n-первых членов геометрической прогрессии ).

S_n=(b_n· q-b₁)/(q-1) (1) S=b₁(qⁿ-1)/(q-1) (2)

А теперь ответим на вопрос, который был поставлен раньше . Выясним кто выиграл, кто проиграл. (Учитель совместно с учащимися вычисляют, сумму 30- ти членов, и делают вывод: купец проиграл, бесплатный сыр бывает только в мышеловке.)

Самостоятельная работа

1 вариант 2вариант

1. В арифметической прогрессии известны:

a₁=-1,2 и d=3 a₁=-0,8 и d=4

Найти : a₄ Найти a₃

2)Найти разность арифметической прогрессии,если:

a₁=2, a₁₁=-5 a₁=4 , a₁₈=-11

3)Первый член геометрической прогрессии 3)Первый член геометричес

равен 11,а знаменатель равен 2 кой прогрессии равен4,а

Найти сумму 5 первых членов знаменатель равен2.

Найти сумму 7 первых

членов

4)Найти сумму шести членов 4)Найти сумму пяти членов

геометрической прогрессии геометрической прогрессии

с положительными членами с положительными членами

если: b₂ =4, b₄ =1 если: b₅ =81, b₃ =36

Итог урока.

Рефлексия. А теперь, в конце урока хочется, чтобы вы выразили свое отношение к нашей сегодняшней работе и всему уроку в целом. Ответьте на вопросы в листах рефлексии и сдайте их мне.

1.Что понравилось на уроке?

2.Что не понравилось?

3.Мог ли ты получить другую отметку за урок?

4.Поставь себе отметку по 5-и бальной системе. Обоснуй её.

Задание на дом.

1. Повторить все основные формулы арифметической и геометрической прогрессии.

2. №654,657,678 (учебник под ред.Теляковского)

3. Дополнительное задание.

Задача.

Настенные русские часы с кукушкой устроены так, что кукушка кукует по 1 разу, когда часы показывают половину каждого часа и каждый час столько раз, каково время от 1 до 12 часов. Сколько раз прокукует кукушка за сутки?

Прогрессия.(сообщение ученика)

Слово «прогрессия» латинского происхождения (progressio),буквально означает «движение вперед» (как и слово «прогресс») и встречается впервые у римского автора Боэция (V-VI вв).Название «арифметическая» и «геометрическая» были перенесены из теории непрерывных пропорций, которыми занимались древние греки.

Первыми предоставления об арифметической и геометрической прогрессиях были еще у древних народов. В клинописных табличках вавилонян, как и в египетских папирусах, относящихся ко II тысячелетию до н.э., встречаются примеры арифметической и геометрической прогрессий. Первые из дошедших до нас задачи на прогрессии связаны с запросами хозяйственной жизни и общественной практики, как, например, распределение продуктов, деление наследства и т.д. В древнерусском юридическом сборнике «Русская правда» содержатся выкладки о приплоде от скота и пчел за известный промежуток времени, о количествах зерна, собранного с определенного участка земли и т.д.

Известна интересная история о знаменитом немецком математике К. Гауссе (1777-1855 гг), который в детстве обнаружил выдающиеся способности к математике. Формула суммы членов арифметической прогрессии была доказана древнегреческим ученым Диофантом (в III веке).

Из одной клинописной таблички можно заключить, что, наблюдая Луну от новолуния до полнолуния, вавилоняне пришли к такому выводу: в первые 5 дней после новолуния рост освещения лунного диска совершается по закону геометрической прогрессии со знаменателем 2.