§ 9. Рух
82. Перетворення фігур
Геометричні перетворення – дуже важливий розділ курсу геометрії. Більш за те, у 19 сторіччі математики зрозуміли, що єдиний погляд на всі геометрії можливий з точки зору того, які множини перетворень розглядаються як ті, що не змінюють властивості геометричних фігур. Так, у геометрії Евкліда, яку ми вивчаємо, досліджуються ті властивості геометричних фігур, які не змінюються при рухах фігур (образно кажучи, кожну геометричну фігуру можна розглядати як “тверду”, наприклад, вирізану з картону, і нас цікавлять ті властивості цієї фігури, які не змінюються при зміні її положення). Для кожної з геометрій існує деяка множина геометричних перетворень і у цій геометрії вивчаються ті властивості фігур, які не змінюються при цих перетвореннях. Такий погляд не тільки дозволив навести деякий порядок серед розмаїття створених геометрій, але і пролив світло на кожну геометрію, зокрема, дозволив впорядкувати зміст кожної з геометрій, стимулював нові дослідження. Більш за те, метод геометричних перетворень став найголовнішим та найпродуктивнішим методом як побудови геометрій, так і розв’язування геометричних задач. Математична теорія симетрії, симетрія у живій та неживій природі, мистецтві, архітектурі, інженерії отримали спільне підґрунтя у геометричних перетвореннях. Ідеї геометричних перетворень дуже природні. Між тим, ці теми важко входять у педагогічну практику, особливо у викладання математики в школі. Можливо, брак годин, а також обмеженість наочності викликає ці труднощі. Ми сподіваємось, що можливості пакета
DG у виконанні геометричних перетворень сприяє тому, що Ви відчуєте красу і міць методів геометричних перетворень.Для засвоєння різних типів геометричних перетворень ми пропонуємо таку загальну схему:
Почнемо з загального визначення геометричного перетворення.
Геометричне перетворення фігури – це відображення кожної точки геометричної фігури у визначену яким-небудь чином іншу точку площини.
Зауважимо, що роль геометричної фігури може виконувати сама площина. У подальшому ми будемо розглядати перетворення площини.
Розробимо ДК “Перетворення фігур”.
У результаті ми повинні отримати ДК, який відповідає наступному рисунку.
Рисунок 9.
1 ДК "Перетворення фігур"Тепер можна виконувати комп’ютерні експерименти з цим перетворенням.
Будемо реалізовувати наведену вище схему.
Комп’ютерні експерименти з ДК “Геометричні перетворення”
2.1.
Побудуйте геометричні примітиви (пряму, промінь, відрізок, коло);
Рисунок 9.
2 ДК "Дія перетворення на геометричні примітиви"2.2.
Дослідіть дію перетворення на пряму, скориставшись інструментом “Динамічний слід”:2.2.1.
2.2.2.
Прив’яжіть точку A до прямої, скориставшись командою Прив’язати до фігури з контекстного меню точки A;2.2.3.
Побудуйте динамічний слід точки A, скориставшись інструментом “Динамічний слід”:2.2.3.1.Вибрати інструмент Динамічний слід на панелі інструментів, клацнути на точці
A, клацнути на точці B;2.2.4.
Дослідіть дію перетворення на пряму, змінюючи положення точок A та B;2.3.
Дослідіть дію перетворення на промінь2.4.
Дослідіть дію перетворення на відрізок2.5.
Дослідіть дію перетворення на коло2.6.
Зробіть висновки щодо дії перетворення паралельного перенесення на геометричні примітиви;2.7.
Проведіть комп’ютерні експерименти з іншими геометричними перетвореннями (для цього аналітичну точку C треба задати іншими формулами, наприклад, X=A.X*B.X, Y=A.Y*B.YЯк приклад цікавого перетворення площини, наведемо приклад перетворення інверсії. Перетворення інверсії не вивчається за програмою шкільного курсу, але це важливе і цікаве перетворення, і тому ми пропонуємо “пограти” з інверсією за допомогою ДК, яке наведено нижче.
Рисунок 9.
3 ДК "Дослідження властивостей інверсії"Перетворення інверсії не є рухом, це теж важливо, бо може скластися враження, що всі геометричні перетворення - рухи. На відміну від рухів інверсія не обов’язково перетворює пряму в пряму, а коло в коло, але прямі і кола переходять або у прямі, або у кола. Докладніше можна це дослідити експериментально за допомогою ДК "Дослідження властивостей інверсії".
З виразних прикладів використання інверсії можна навести приклад відомої задачі Аполонія.
Задача Аполонія
Побудувати коло, яке дотикається трьох заданих кіл.
Цю задачу було досліджено і розв’язано давньогрецьким математиком Аполонієм за допомогою циркуля та лінійки за допомогою більше 500 кроків (якщо за крок будемо вважати операцію проведення прямої за двома точками, операцію побудови кола за даним радіусом і центром кола та знаходження точки перетину двох кривих (двох прямих, двох кіл або кола і прямої). Якщо вважати за допустиму операцію побудову інверсної точки, інверсного образа кола та інверсного образа прямої, то коло Аполонія можна побудувати за 45 кроків, якщо ж виконувати операції побудови інверсних образів за допомогою циркуля та лінійки, то число кроків не буде перевищувати 100.
Загальна схема розв’язання задачі Аполонія така:
Зауважимо також, що серед інструментів пакета
DG є інструмент Інверсна точка. Для побудови інверсної точки відносно заданого кола треба клацнути мишкою на колі, а потім на точці (або навпаки – спочатку на точці, а потім на колі інверсії).Завдання 82.1
(підвищеної складності)Завдання 82.2
Побудуйте ДК “Афінні перетворення” для експериментального дослідження властивостей перетворень площини, які задаються формулами:
Рисунок 9.
4 ДК "Афінні перетворення"Зауваження
Усі рухи площини є афінними перетвореннями, тобто усі види рухів, які будуть вивчатись у курсі геометрії є окремими випадками афінних перетворень. Більш за те, усі перетворення подібності, які також будуть вивчатися у даному курсі пізніше є афінними перетвореннями. Не всі перетворення у світі афінні - перетворення інверсії не є афінним перетворенням. Афінні перетворення вивчаються в університетському курсі аналітичної геометрії.
84. Симетрія відносно точки
Для дослідження властивостей перетворення симетрії відносно точки підготуємо ДК “Дослідження перетворення симетрії відносно точки” згідно наведеному нижче рисунку. Не будемо обговорювати детально процес розробки цього ДК – воно аналогічно розробці ДК "Дія перетворення на геометричні примітиви". Виняток складає тільки дія симетрії на многокутник, у нашому випадку – шестикутник, на чому ми і зупинимось.
Побудова ДК “Дослідження перетворення симетрії відносно точки”
Зауваження
Твердження, що образом многокутника при центральній симетрії є многокутник, утворений образами вершин вихідного многокутника, випливає з того, що центральна симетрія є рух. Звідси випливає, що образом відрізка прямої є відрізок прямої тієї ж довжини, образом трикутника – рівний йому трикутник, образом многокутника – рівний йому многокутник.
Завдання 84.1
Проведіть комп’ютерні експерименти з ДК “Дослідження перетворення симетрії відносно точки”
Рисунок 9.
5 ДК "Дослідження симетрії відносно точки"Розглянемо використання центральної симетрії для розв’язування задач.
Задача 74.10
Дано прямі, які перетинаються, і точка, що не лежить на цих прямих. Побудуйте відрізок з кінцями на даних прямих і серединою в даній точці.
Розв’язок цієї задачі у загальному вигляді подано на наступному рисунку.
Вимірюваннями елементів можна експериментально впевнитись, що побудований відрізок –шуканий.
Доведення правильності знайденого рішення очевидне – кінці відрізка симетричні відносно заданої точки
E за побудовою.Дослідження розв’язку – за яких умов, скільки розв’язків має задача теж не викликає складнощів – якщо вихідні прямі перетинались, то пряма, симетрична до однієї із прямих має єдину точку перетину з другою прямою, а отже, розв’язок завжди існує і єдиний.
Залишається тільки одне питання – а як до такого розв’язку можна дійти самостійно, звідки виникло бажання побудувати симетричну пряму? Визначеної відповіді на це питання немає і бути не може – доведено, що універсальних правил знаходження розв’язків задач не існує, це – алгоритмічно нерозв’язувана задача. Проте, ми говорили, що перетворення відіграють центральну роль у побудові геометрії, перетворення – один з найпродуктивніших методів геометрії. І тому, якщо в умовах задачі фігурує точка і якийсь елемент задачі симетричний відносно неї (у нашому випадку – шуканий відрізок), то цілком природно поекспериментувати з перетворенням симетрії відносно заданої точки.
Завдання 84.1
85. Симетрія відносно прямої
Для дослідження дії симетрії відносно прямої на геометричні примітиви та многокутники сконструюйте ДК “Симетрія відносно прямої”. Ми не будемо обговорювати деталі побудови цього ДК – воно цілком аналогічне побудові ДК “Симетрія відносно точки”. Наведемо зображення варіанта такого ДК (зрозуміло, ДК можна запустити клацнувши мишкою на зображенні, якщо Ви користуєтесь електронним варіантом тексту, або запустивши його з
CD- диску).Рисунок 9.
6 ДК "Дія симетрії відносно прямої на примітиви"Завдання 85.1
Самостійно побудуйте ДК для дослідження та наближеного розв’язку задачі 9.24, умову якої наведено нижче. (Вказівка: скористайтеся симетрією відносно прямої).
Задача 9.24
Дано три прямі a, b, c, що перетинаються. Як побудувати відрізок, перпендикулярний до прямої b, середина якого лежить на прямій b, а кінці на прямих a і c. Чи завжди задача має розв’язок?
86. Поворот
Для дослідження властивостей повороту підготуємо ДК “Дослідження властивостей повороту”, згідно з наведеним нижче рисунком. Розробка ДК не потребує на особливі коментарі і розробляється за тією ж схемою, що і ДК для досліджень властивостей симетрії відносно точки та симетрії відносно прямої. Єдина складність полягає у тому, що операції Повернути точку немає серед стандартних інструментів
DG. Це не біда – розробимо відповідний макрос Rotate. Ми пам’ятаємо, що все, що можна побудувати за допомогою циркуля та лінійки – можна побудувати в DG. Побудову цього макросу обговоримо у кінці розділу, а для підготовки ДК можна скористатися готовим макросом Rotate, який зберігається у папці PupilGuide\9 Movies\9 Movies(DGF). Нагадаємо, що для завантаження макросу треба виконати команду Макроси\Завантажити макроси. Для використання макросу треба вибрати команду Макроси\Rotate, після чого вказати параметри макросу:Рисунок 9.
7 ДК "Дослідження властивостей повороту"Дослідження властивостей повороту виконайте згідно тексту, наведеного на зображенні ДК.
Завдання 86.1
Дослідіть властивості дії на точку композиції двох симетрій відносно двох прямих, що перетинаються. Для дослідження сконструюйте ДК “Композиція двох симетрій відносно прямих”.
Побудова макросу
Rotate повороту точкиЗавдання 86.1
Композиція рухів є рухом. Дослідіть рух, який є композицією двох поворотів.
Варіант ДК “Дослідження композиції поворотів” наведено на рисунку.
Зауваження
За допомогою комп’ютерних експериментів неважко здогадатися, що композиція двох поворотів у загальному випадку є також поворотом, і ці ж експерименти допоможуть визначати параметри результуючого повороту. Але як довести отриманий експериментально результат? Допомогти може дослідження композиції двох симетрій відносно прямих.
На малюнку “ДК Дослідження композиції поворотів” виконані побудови, які для експериментальної перевірки того, що композиція поворотів є також поворот. Якщо це дійсно так, то центр повороту можна знайти за допомогою побудов, що наведено на рисунку – це буде точка перетину двох серединних перпендикулярів до пар точок “прообраз” – “образ” для композиції поворотів. Результати вимірів показують, що дію композиції дійсно можна отримати в результаті повороту навколо знайденої точки. Більш за те, результати динамічних вимірювань показують, що величина цього повороту дорівнює алгебраїчній сумі двох поворотів, які утворюють композицію. Зрозуміло, що все це ми перевірили тільки для деякої кількості
креслень і перевірили з деякою заданою точністю, проте вірогідність справедливості цього факту у цілому, дуже велика (за особистим враженням можна сказати, що після комп’ютерного підтвердження гіпотези з’являється зовсім нове почуття впевненості у справедливості відповідної теореми і залишається тільки винахідницька задача – сконструювати, побудувати доведення, сумнівів немає, що воно існує).Рисунок 9.
8 ДК "Дослідження властивостей композиції поворотів"Чи може допомогти комп’ютер на цьому етапі – етапі пошуку дедуктивного доведення? Зрозуміло, треба досліджувати конфігурацію, яку утворюють три точки – два центри вихідних поворотів та центр гіпотетичного повороту. Дослідимо трикутник, який вони утворюють – побудуємо сторони і виміряємо його кути та довжини сторін (результат наведено на наступному рисунку).
“Еврика!” – два кути побудованого трикутника вдвічі менше за кути вихідних поворотів. Тепер нам буде у нагоді результат дослідження завдання 86.1, згідно якому композиція двох симетрій відносно прямих, що перетинаються є поворот відносно точки перетину на подвійний кут, що утворюють ці прямі (кут утворюється осями симетрії у напряму проти годинникової стрілки). Позначимо:
Згідно результатів дослідження завдання 86.1, перший поворот дорівнює композиції симетрій
Таким чином, ми повністю розв’язали завдання 86.2 і дали два алгоритми побудови центра результуючого повороту. Комп’ютерні експерименти допомогли на усіх етапах дослідження – від формулювання гіпотези до її доведення.
Рисунок 9.
9 "Дослідження властивостей композиції поворотів"Означення
Говорять, що геометрична фігура має поворотну симетрію порядку n, якщо вона суміщається з собою при повороті навколо деякої точки (яка називається центром симетрії цієї фігури) на кут 360° /n. Наприклад, трикутник має поворотну симетрію третього порядку відносно свого центру.
Для побудови та дослідження многокутників з поворотною симетрією n=2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 розробимо ДК “Поворотна симетрія”, зображення якого подано на рисунку.
Спочатку доцільно розробити макрос Rotate6Polygon, для повороту навколо будь-якої точки на будь-який кут будь-якого шестикутника.
Розробка макросу Rotate6Polygon
Побудова ДК “Поворотна симетрія”
Рисунок 9.
10 ДК “Поворотна симетрія”Розмаїття фігур, які можна побудувати за допомогою ДК “Поворотна симетрія” включає в себе правильні многокутники 2-8 порядків, різноманітні зірки 2-16 порядків. Це - своєрідний електронний “поворотний калейдоскоп”, якого не можна створити оптичними пристроями, за аналогією із “симетричним калейдоскопом”, де симетрії відносно прямих реалізує система дзеркал. На рисунках наведено приклади фігур, які можна отримати за допомогою ДК
“Поворотна симетрія”.Рисунок 9.
11 Приклад фігури з поворотною симетрією 5.
Рисунок 9.
12 "Магія поворотної симетрії"Якщо Вам сподобався “Поворотний калейдоскоп”, то по аналогії можна побудувати “Калейдоскоп симетрій” – в якому многокутник базового кута багатократно симетрично відбивається від своєї сторони, що
належить стороні кута. На рисунку наведено цей побудувати “Калейдоскоп симетрій”.Побудова цього ДК аналогічна побудові “Поворотна симетрія” і тому ми не будемо її детально обговорювати. Зауважимо тільки загальну схему побудови:
Завдання 86.2
Завдання 86.3
Сконструюйте електронну модель реального калейдоскопу.