Электронное учебное пособие

       "Тестирование в курсе информатики"

     
 

Главная

Содержание

Тезаурус

 

 

 

2.7. Компьютерное представление числовой информации.

  Все числовые данные хранятся в машине в двоичном виде, т.е. в виде последовательности нулей и единиц, однако формы хранения целых и действительных чисел различны.  

  Для представления чисел в памяти ПК используются два формата:
                 -формат
с фиксированной точкой (запятой) целые числа;
                 -формат
с плавающей точкой (запятой) вещественные числа.

Множество целых чисел, представленных в памяти ЭВМ, ограничено. Диапазон значений зависит от размера ячеек памяти, используемых для их хранения.
Для целых чисел существуют два представления:
 
-беззнаковое;
 -со знаком.   
                                                                                                                           

   В К-разрядной ячейке может храниться 2к различных значений целых чисел.  Диапазон значений целых беззнаковых чисел (только положительные): от 0 до 2к - 1
для
16-разрядной ячейки от 0 до 65535
для
8-разрядной ячейки от 0 до 255                                                                                                  

  Диапазон значений целых чисел со знаком (и отрицательные, и положительные в равном количестве):
от -2к-1 до 2к-1-1
для
16-разрядной ячейки от -32768 до 32767
для
8-разрядной ячейки от -128 до 127

Чтобы получить внутреннее представление целого положительного числа N, хранящегося в К-разрядной ячейке, необходимо:
               1. перевести число N в двоичную систему счисления;
           2. полученный результат дополнить слева незначащими нулями до К разрядов.                                                                                                                                                   

  Пример: Получить внутреннее представление целого числа 1607 в 2-х байтовой ячейке.
Решение: N=1607=110010001112.
Внутреннее представление этого числа будет: 0000 0110 0100 0111. Шестнадцатеричная форма внутреннего представления числа: 0647.

  Для представления целого отрицательного числа используется дополнительный код.
Допольнительным кодом двоичного числа X в N-разрядной ячейке является число, дополняющее его до значения 2N.
Получение дополнительного кода:
                   1. получить внутреннее представление положительного числа N (прямой код);
                   2. получить обратный код этого числа заменой 0 на 1 или 1 на 0 (обратный код);
                   3. к полученному числу прибавить 1.

Положительное число в прямом, обратном и дополнительном кодах не меняют свое изображение. Использование дополнительного кода позволяет заменить операцию вычитания на операцию сложения.

A-B=A+(-B).

Процессору достаточно уметь лишь складывать числа.
Старший, К-й разряд во внутреннем представлении любого положительного числа равен 0, отрицательного числа равен 1. Поэтому этот разряд называется знаковым разрядом.

Пример:  Получить внутреннее представление целого отрицательного числа - 1607.
Решение:

1. Внутреннее пердставление положительного числа:

000 0110 0100 0111;

2. Обратный код:

1111 1001 1011 1000;

3. Дополнительный код:

1111 1001 1011 1001 - внутреннее двоичное представление числа.

16-ричная форма: F9B9.

Вещественные числа представляются в ПК в форме с плавающей точкой.


Этот формат использует представление вещественного числа R в виде произведения мантиссы m на основание системы счисления p в некоторой целой степени n которую называют порядком:
R=m*pn
Представление числа в форме с плавающей точкой неоднозначно.

Пример: 25.324=25324*101=0.0025324*104=2532.4*10-2

В ЭВМ используют
нормализованное представление числа в форме с плавывающей точкой. Мантисса в нормализованном представлении должна удовлетворять условию: 0.1p?m<1p
  Иначе говоря, мантисса меньше 1 и первая значащая цифра - не 0. 
В памяти компьютера мантисса представляется как целое число, содержащее только значащие цифры (0 целых и запятая не храниться). Следовательно, внутреннее представление вещественного числа сводиться к представлению пары целых чисел: мантиссы и порядка.                                                                                                                        Пример: 4-x байтовая ячейка памяти. В ячейке должна содержаться следующая информация о числе:
                         - знак числа;
                         - порядок;
                         - значащие цифры мантиссы.

±

МАН

ТИ

ССА

1-й байт

2-й байт

3-й байт

4-й байт

  В старшем бите 1-го байта храняться знак числа: 0 обозначает плюс, 1 - минус.
Оставшиеся 7 бит 1-го байта содержат машинный порядок. В следующих трех байтах храняться значащие цифры мантиссы (24 разряда).

  Пример: Записать внутреннее представление числа 250,1875 в форме с плавающей точкой.                Решение:
1) Приведем его в двоичную систему счисления с 24 значащими цифрами: 250,187510=1111 1010 , 0011 0000 0000 00002.
2) Запишем в форме нормлизованного двоичного числа с плавающей точкой: 0,1111 1010 0011 0000 0000 0000*1021000. Здесь мантисса, основание системы счисления (210=102) и порядок (810=10002) записаны в двоичной системе.
3) Вычислим машинный порядок в двоичной системе счисления: Mp2= 1000 + 100 0000 =100 1000.
4) Запишем представление числа в 4-х байтовой ячейке памяти с учетом знака числа:

0

1001000

11111010

00110000

00000000

31

24

23

 

0

Шестнадцатеричная форма: 48FA3000.

  Пример2: По шестнадцатеричной форме внутреннего представления числа в форме с плавающей точкой C9811000 восстановить само число.
Решение:
1) Перейдем к двоичному представлению числа в 4-х байтовой ячейке, заменив каждую шестнадцатеричную цифру 4-мя двоичными цифрами:

1100 1001 1000 0001 0001 0000 0000 0000

1

1001001

10000001

00010000

00000000

31

 

23

 

0

2) Заметим, что получен код отрицательного числа, поскольку в старшем разряде с номером 31 записана 1. Получим порядок числа: р=10010012 -10000002=10012=910.
3) Запишем в форме нормализованного двоичного числа с плавающей точкой с учетом знака числа:
-0,1000 0001 0001 0000 0000 0000 *21001
4) Число в двоичной системе счисления имеет вид: -100000010,0012.
5) Переведем число в десятичную систему счисления:
-100000010,0012= -(1*28+1*21+1*2-3)= -258,12510

  В семи двоичных разрядах помещаются двоичные числа в диапозоне от 0000000 до 1111111. Значит, машинный порядок изменяется в диапозоне от 0 до 127 (в десятичной системе счисления). Всего 128 значений. Порядок, очевидно, может быть как положительным так и отрицательным. Разумно эти 128 значений разделить поровну между положительным и отрицательным значениеями порядка: от -64 до 63. Машинный порядок смещен относительно математического и имеет только положительные значения. Смещение выбирается так, чтобы минимальному математическому значению порядка соответствовал нуль. Связь между машинным порядком (Мр) и математическим (р) в рассматриваемом случае выражается формулой: Мр = р + 64                                                                                        

  Полученная формула записана в десятичной системе. В двоичной системе формула имеет вид: Mp2=p2+10000002
 

Для записи внутреннего представления вещественного числа в 4-х байтовой ячейке необходимо:
1) перевести модуль данного числа в двоичную систему счисления с 24 значащими цифрами;
2) нормализовать двоичное число;
3) найти машинный порядок в двоичной системе счисления;
4) учитывая знак числа, выписать его представление в 4-х байтовом машинном слове.

 

                             ГлавнаяСодержаниеТезаурусТеорияВопросыТестНаверх